평균 결과 이해하기
평균은 중심경향을 나타내는 여러 측도 가운데 하나입니다. 아래 표는 예시 자료 12, 15, 18, 22, 9를 기준으로 이들을 비교한 것입니다.
| 측도 | 12, 15, 18, 22, 9의 값 | 설명 |
|---|---|---|
| 평균 (산술평균) | 15.2 | 합계 / 개수. 모든 값을 사용하며 이상치에 민감함 |
| 중앙값 | 15 | 정렬한 목록 9, 12, 15, 18, 22의 가운데 값 |
| 최솟값 | 9 | 가장 작은 값 |
| 최댓값 | 22 | 가장 큰 값 |
| 범위 | 13 | 최댓값에서 최솟값을 뺀 값. 퍼짐 정도를 나타내는 간단한 측도 |
- 평균은 극단적인 값에 민감합니다. 아주 크거나 아주 작은 수 하나가 평균을 크게 움직일 수 있습니다. 평균과 중앙값을 비교하면 자료가 한쪽으로 치우쳤는지 알 수 있습니다.
- 표본의 평균은 그 표본을 뽑은 모집단의 평균을 추정하지만, 표본 변동 때문에 두 값은 대체로 다릅니다. 신뢰구간 계산기를 참고하십시오.
- 백분율이나 비율의 평균은 기준이 같을 때에만 유효합니다. 그렇지 않으면 가중평균을 사용해야 합니다.
평균이란 무엇입니까?
평균은 정식 명칭으로 산술평균이라고 하며, 자료의 중심을 나타내는 가장 널리 쓰이는 값입니다. 모든 값을 더한 뒤 값의 개수로 나누어 구합니다. 평균은 자료의 균형점입니다. 평균보다 큰 값들의 편차 합과 평균보다 작은 값들의 편차 합이 정확히 상쇄되기 때문입니다.
산술평균은 자료의 모든 값을 사용하므로 효율적이지만, 그만큼 이상치에 민감합니다. 극단적인 값 하나가 평균을 자료 대부분에서 멀리 끌어당길 수 있습니다. 예를 들어 12, 15, 18, 22, 9의 목록에 100을 추가하면 평균은 15.2에서 약 29.3으로 올라갑니다. 소득이나 주택 가격처럼 한쪽으로 치우친 자료에서는 평균과 함께, 또는 평균 대신 중앙값을 제시하는 경우가 많습니다.
'평균'이라는 말은 중앙값(가운데 값)이나 최빈값(가장 자주 나오는 값)처럼 중심을 나타내는 다른 값들을 가리키는 데 느슨하게 쓰이기도 합니다. 통계학 교재와 이 계산기에서는 별도의 언급이 없는 한 평균은 산술평균을 뜻합니다.
이 평균 계산기 사용 방법
- 숫자를 세미콜론으로 구분하여 입력합니다. 예: 12; 15; 18; 22; 9. 소수와 음수도 입력할 수 있습니다.
- 평균(산술평균)을 확인합니다. 이는 합계를 개수로 나눈 값입니다.
- 합계, 개수, 최솟값, 최댓값 등 보조 통계량을 확인하여 목록이 의도한 대로 인식되었는지 점검합니다.
- 손으로 검산하려면 모든 값을 더한 뒤 그 합을 입력한 값의 개수로 나누면 됩니다.
평균 공식
n개의 값 x1, x2, ..., xn의 산술평균은 그 합을 n으로 나눈 값입니다.
풀이 예제: 값 12, 15, 18, 22, 9. 1단계 — 더합니다: 12 + 15 + 18 + 22 + 9 = 76. 2단계 — 개수를 셉니다: n = 5. 3단계 — 나눕니다: 76 / 5 = 15.2. 따라서 평균은 15.2입니다.
평균은 항상 자료의 최솟값과 최댓값 사이에 있습니다. 평균은 총합을 똑같이 나누어 가졌을 때 각 관측값이 갖게 될 값과 같습니다. 76을 5로 똑같이 나누면 각각 15.2가 됩니다.
자주 하는 실수
- 가중치 없이 평균의 평균을 구하는 경우: 두 집단 평균의 평균이 전체 평균과 같아지는 것은 두 집단의 크기가 같을 때뿐입니다.
- 소득이나 주택 가격처럼 소수의 큰 값이 지배하는, 심하게 치우친 자료에 평균을 쓰는 경우 — 대개 중앙값이 더 대표성이 있습니다.
- n을 셀 때 값을 빠뜨리는 경우 — 나누는 수는 더한 값의 개수와 정확히 일치해야 합니다.
- 같은 거리를 이동한 속력처럼 비율을 산술평균으로 평균 내는 경우 — 이런 상황에서는 조화평균을 써야 합니다(평균 계산기 참고).
자주 묻는 질문
평균은 어떻게 계산합니까?
모든 수를 더한 다음 그 합을 수의 개수로 나눕니다. 예를 들어 12, 15, 18, 22, 9의 경우 합은 76이고 수는 5개이므로 평균은 76 / 5 = 15.2입니다.
평균, 산술평균, 중앙값은 어떻게 다릅니까?
일상적으로 '평균'은 보통 산술평균, 즉 합을 개수로 나눈 값을 뜻합니다. 중앙값은 자료를 정렬했을 때 가운데 오는 값이고, 최빈값은 가장 자주 나오는 값입니다. 셋 모두 중심경향을 나타내는 측도이지만, 자료가 한쪽으로 치우쳐 있거나 이상치가 있으면 값이 크게 달라질 수 있습니다.
평균이 오해를 부르는 경우는 언제입니까?
자료가 한쪽으로 치우쳐 있거나 이상치가 있을 때입니다. 산술평균은 모든 값을 사용하므로 극단적인 관측값 하나가 평균을 자료 대부분이 놓인 위치에서 크게 벗어나게 할 수 있습니다. 예를 들어 어떤 집단의 평균 소득은 소득이 매우 높은 한 사람 때문에 위로 끌려 올라가지만 중앙 소득은 영향을 받지 않습니다. 평균과 중앙값을 함께 제시하면 더 온전한 그림을 얻을 수 있습니다.
평균이 목록에 없는 수가 될 수도 있습니까?
그렇습니다. 오히려 그런 경우가 대부분입니다. 12, 15, 18, 22, 9의 평균은 15.2인데 이 값은 목록에 나타나지 않습니다. 평균은 자료의 균형점이지 반드시 관측된 값은 아닙니다. 가구당 평균 자녀 수가 1.9명이라는 표현이 대표적인 예입니다.
이상치는 평균에 어떤 영향을 줍니까?
각 값이 합에 똑같이 기여하므로, 다른 값들과 멀리 떨어진 값은 평균을 그쪽으로 끌어당깁니다. 12, 15, 18, 22, 9의 목록에 100을 추가하면 평균은 15.2에서 (76 + 100) / 6 = 29.33(반올림)으로 바뀝니다. 중앙값은 훨씬 적게 움직이며, 이 때문에 이상치가 나타나기 쉬운 자료에서는 중앙값이 선호됩니다.
참고 자료
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 1.3.5.1: Measures of Location. nist.gov.
- Moore DS, McCabe GP, Craig BA. Introduction to the Practice of Statistics. W. H. Freeman (standard coverage of the arithmetic mean).
- Weisstein, Eric W. "Arithmetic Mean." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.