필요한 표본 크기의 이해
아래 표는 Cochran 공식으로 계산한, 흔히 쓰이는 신뢰수준과 오차한계에 대한 필요 표본 크기(무제한 모집단, p = 0.5)를 보여줍니다.
| 신뢰수준 | 오차한계 5% | 오차한계 3% |
|---|---|---|
| 90% (z = 1.6449) | 271 | 752 |
| 95% (z = 1.96) | 385 | 1068 |
| 99% (z = 2.5758) | 664 | 1843 |
- 이 수치들은 단순무작위추출과 보수적인 p = 0.5을 가정합니다. 비율에 대한 신뢰할 만한 사전 추정치가 있다면 필요한 표본은 더 작아질 수 있습니다.
- 이 계산은 표집 오차만을 다룹니다. 무응답 편향, 잘못 작성된 문항, 대표성 없는 표집틀은 표본을 키운다고 해결되지 않습니다.
- 오차한계를 절반으로 줄이면 필요한 표본 크기는 대략 네 배가 됩니다. e가 공식에서 제곱으로 들어가기 때문입니다.
- 매우 작은 모집단에서는 유한모집단 수정이 필요한 표본을 크게 줄일 수 있으며, 극단적으로는 표본이 모집단 전체(전수 조사)에 가까워집니다.
표본 크기 계산이란 무엇입니까?
표본 크기 계산은 다음 질문에 답합니다. 표본 통계량 — 보통 만족한 고객의 비율과 같은 비율 — 이 명시된 신뢰수준에서 명시된 오차한계 이내로 모집단 값을 추정하려면 몇 명(또는 몇 개)을 측정해야 하는가? 필요 이상으로 많이 표집하면 자원이 낭비되고, 너무 적게 표집하면 추정치가 지나치게 부정확하여 쓸모가 없습니다.
오차한계는 추정치를 둘러싼 신뢰구간의 반폭입니다. 5% 오차한계란 참 모비율이 표본 추정치로부터 5퍼센트포인트 이내에 있을 것으로 기대된다는 뜻입니다. 신뢰수준(흔히 90%, 95%, 99%)은 이런 방식으로 구성한 구간이 반복 표집에서 참값을 포함하는 빈도를 나타냅니다. 신뢰수준을 높이거나 오차한계를 줄이면 둘 다 더 큰 표본이 필요합니다.
이 계산기는 William G. Cochran의 Sampling Techniques(제3판, 1977)에 실린 공식을 p = 0.5로 사용합니다. 이 값은 필요한 표본 크기를 최대로 만드는 모비율입니다. 참 비율을 모를 때 p = 0.5을 쓰는 것은 표준적인 보수적 선택으로, 참 비율이 무엇으로 밝혀지든 그 표본이면 충분합니다. 모집단이 유한하고 알려져 있으면 유한모집단 수정이 필요한 표본을 줄여 줍니다. 작은 모집단에서 상당한 비율을 표집하면 응답자 한 명당 더 많은 정보를 얻기 때문입니다.
이 표본 크기 계산기 사용 방법
- 모집단 크기 — 연구 대상이 되는 사람이나 항목의 총수 — 를 입력합니다. 모집단이 사실상 무제한이거나 알 수 없다면 0을 입력합니다.
- 신뢰수준을 90%, 95%, 99% 중에서 선택합니다. 설문 조사에서는 95%가 가장 흔합니다.
- 오차한계를 백분율로 입력합니다. 보통 5% 또는 3%입니다. 오차한계가 작을수록 표본은 상당히 커집니다.
- 필요한 표본 크기(모집단을 입력한 경우 유한모집단 수정이 적용됨)와 무제한 모집단에 대한 미보정 수치를 확인합니다. 예상되는 무응답을 상쇄할 수 있도록 여유 있게 모집을 계획하십시오.
Cochran 공식과 유한모집단 수정
비율 추정을 위한 Cochran 공식은 n0 = z^2 x p(1 - p) / e^2입니다. 여기서 z는 해당 신뢰수준의 표준정규 임계값(90%는 1.6449, 95%는 1.96, 99%는 2.5758), p는 가정한 모비율, e는 소수로 나타낸 오차한계입니다. 보수적 선택인 p = 0.5에서 p(1 - p) 항은 최댓값 0.25를 가집니다.
95% 신뢰수준과 5% 오차한계의 계산 예시: n0 = (1.96^2 x 0.25) / 0.05^2 = (3.8416 x 0.25) / 0.0025 = 0.9604 / 0.0025 = 384.16이며, 무제한 모집단에서는 올림하여 385명이 됩니다.
크기 N인 유한모집단에서는 수정식이 n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N)입니다. 위 예시를 N = 10,000로 이어가면 n = 384.16 / (1 + 383.16 / 10000) = 384.16 / 1.0383 = 369.98이며, 올림하여 370명이 됩니다. 응답자를 소수 단위로 조사할 수는 없으므로 표본 크기는 항상 올림합니다.
흔한 실수
- 오차한계와 신뢰수준을 혼동하는 것 — 오차한계(예: 5%)는 구간의 반폭이고, 신뢰수준(예: 95%)은 그러한 구간이 참값을 포함하는 빈도입니다.
- 필요한 표본이 모집단 크기에 비례한다고 믿는 것: 큰 모집단에서는 필요한 표본이 거의 변하지 않으며, 그래서 모집단이 100,000명이든 1억 명이든 95%/5%에서는 385명이면 충분합니다.
- 무응답을 무시하는 것: 공식이 주는 값은 완료된 응답의 수이므로, 예상 무응답률만큼 모집 인원을 더 늘려야 합니다.
- 표본을 키우면 편향이 해결될 것이라 기대하는 것 — 표본 크기는 무작위 표집 오차를 통제할 뿐, 대표성 없는 표본에서 오는 체계적 편향은 통제하지 못합니다.
자주 묻는 질문
95% 신뢰수준과 5% 오차한계에는 응답자가 몇 명 필요합니까?
크거나 무제한인 모집단에서는 385명입니다. Cochran 공식으로 n0 = (1.96^2 x 0.25) / 0.05^2 = 384.16이며 올림하여 385명이 됩니다. 모집단이 더 작다면 — 예컨대 10,000명이라면 — 유한모집단 수정으로 370명으로 줄어듭니다.
오차한계란 무엇입니까?
오차한계는 설문 추정치를 둘러싼 신뢰구간의 반폭입니다. 5% 오차한계란 명시된 신뢰수준에서 참 모집단 값이 표본 추정치로부터 5퍼센트포인트 이내에 있을 것으로 기대된다는 뜻입니다. 오차한계가 작을수록 표본은 커집니다. 오차한계를 절반으로 줄이면 표본 크기는 대략 네 배가 됩니다.
계산기는 왜 p = 0.5을 가정합니까?
필요한 표본 크기는 알려지지 않은 모비율 p에 p(1 - p) 항을 통해 의존하는데, 이 항은 p = 0.5일 때 가장 큽니다. 0.5을 쓰는 것은 Cochran(1977)에서 온 표준적인 보수적 관행으로, 참 비율이 무엇으로 밝혀지든 그 표본이면 충분히 큽니다. p에 대한 믿을 만한 사전 추정치가 있다면 더 작은 표본으로도 충분할 수 있습니다.
모집단이 크면 표본도 훨씬 커야 합니까?
아닙니다 — 이는 흔한 오해입니다. 미보정 표본 크기는 모집단 크기에 전혀 의존하지 않으며, 유한모집단 수정은 모집단이 표본에 비해 작을 때만 표본을 줄입니다. 95% 신뢰수준과 5% 오차한계에서는 10만 명이든 1억 명이든 큰 모집단이라면 대략 385명이면 충분합니다.
유한모집단 수정이란 무엇입니까?
모집단 N이 유한하면 비복원 표집이 관측치 하나당 약간 더 많은 정보를 주므로 더 적은 응답자가 필요합니다. 수정식은 n = n0 / (1 + (n0 - 1) / N)이며 n0는 미보정 표본 크기입니다. 95%/5%에서 N = 10,000이면 필요 인원이 385명에서 370명으로 줄고, N이 매우 크면 수정 효과는 무시할 만합니다.
이 계산은 무응답을 고려합니까?
아닙니다. 공식이 주는 값은 필요한 완료 응답 수입니다. 예를 들어 응답률이 40%로 예상된다면 n건의 완료 응답을 얻기 위해 대략 n / 0.4명에게 참여를 요청해야 합니다. 또한 무응답은 표본 크기를 아무리 늘려도 해결되지 않는 편향을 낳을 수 있습니다.
참고 자료
- Cochran WG. Sampling Techniques, 3rd edition. Wiley, 1977 (sample size for estimating proportions; finite population correction).
- National Institute of Standards and Technology (NIST). NIST/SEMATECH e-Handbook of Statistical Methods, Section 7.2.2: Sample sizes required. nist.gov.
- Kish L. Survey Sampling. Wiley, 1965 (design effects and practical survey sampling).