도형별 넓이 공식
아래 표는 지원하는 각 도형의 표준 공식과 필요한 입력값을 정리한 것입니다.
| 도형 | 넓이 공식 | 필요한 입력값 |
|---|---|---|
| 원 | A = πr² | 반지름 r |
| 삼각형 | A = ½ × base × height | 밑변, 높이 |
| 직사각형 | A = base × width | 밑변, 너비 |
| 사다리꼴 | A = ½ × (a + b) × height | 평행한 변 a, b, 높이 |
| 평행사변형 | A = base × height | 밑변, 높이 |
| 타원 | A = π × a × b | 반축 a, b |
| 정다각형 | A = ns² ÷ (4 tan(π/n)) | 변의 개수 n, 변의 길이 s |
| 부채꼴 | A = ½ r²θ | 반지름 r, 각 θ |
- 타원의 둘레는 정확한 닫힌 형태의 식이 없으며 타원 적분이 필요합니다. 이 계산기는 라마누잔의 제2 근사식을 사용하며, 매우 길쭉한 타원에서도 오차가 약 0.02% 이내이고 원에 가까울수록 훨씬 작아집니다.
- 밑변과 높이로 구하는 삼각형의 넓이(½ × 밑변 × 높이)는 높이가 기울어진 변의 길이가 아니라 밑변에서 마주 보는 꼭짓점까지의 수직 거리일 때에만 정확합니다.
- 부정형 다각형이거나 세 변의 길이만 알고 있는 삼각형의 경우에는 헤론의 공식을 대신 사용하십시오. 삼각형 계산기를 참고하십시오.
- 정다각형 공식은 n개의 변과 내각이 모두 같다고 가정하므로 부정형 다각형에는 적용되지 않습니다.
넓이란 무엇입니까?
넓이는 도형의 경계가 둘러싼 2차원 공간의 크기이며 제곱 단위(예: 제곱미터 또는 제곱피트)로 측정합니다. 모든 정형 도형은 원의 반지름이나 직사각형의 밑변과 너비처럼 몇 개의 측정된 치수로부터 넓이를 도출하는 공식을 가집니다.
여기서 다루는 여덟 가지 도형 — 원, 삼각형, 직사각형, 사다리꼴, 평행사변형, 타원, 정다각형, 부채꼴 — 은 학교 기하학, 건축 물량 산출, 일상적인 측정 문제에서 가장 자주 마주치는 도형들을 포괄합니다. 각 도형은 고유한 표준 공식을 사용합니다.
이 넓이 계산기 사용 방법
- 도형 선택 목록에서 측정하려는 도형을 고릅니다.
- 해당 도형에 요구되는 치수를 입력합니다. 예를 들어 원은 반지름을, 삼각형이나 평행사변형은 밑변과 높이를 입력합니다.
- 사다리꼴의 경우 두 평행한 변(a와 b)과 그 사이의 수직 높이를 모두 입력합니다.
- 정다각형의 경우 변의 개수(n)와 한 변의 길이(a)를 입력하고, 부채꼴의 경우 반지름과 중심각을 도 단위로 입력합니다.
- 넓이와 둘레나 호의 길이 같은 보조 결과를 확인합니다. 값을 바꾸면 즉시 갱신됩니다.
각 도형의 넓이를 구하는 공식
각 도형은 고유한 닫힌 형태의 넓이 공식을 사용합니다. 부채꼴 공식은 라디안으로 정의되어 있으므로, 부채꼴에 입력한 각도는 사용 전에 도에서 라디안으로 변환됩니다.
흔한 실수
- 삼각형의 수직 높이 대신 기울어진 변의 길이를 입력하여 계산된 넓이가 부풀려지는 경우.
- 원이나 부채꼴에서 반지름과 지름을 혼동하는 경우 — 공식은 지름이 아니라 반지름을 요구합니다.
- 부채꼴에서 계산기가 도(0–360°)를 기대하는데 각도를 라디안으로 입력하는 경우.
- 사다리꼴에서 두 평행한 변 a, b 중 하나 대신 평행하지 않은 변을 넣는 경우.
- 정다각형 공식이 변이나 각이 서로 다른 부정형 도형에도 통한다고 가정하는 경우.
자주 묻는 질문
원의 넓이는 어떻게 구합니까?
원의 넓이는 π에 반지름의 제곱을 곱한 값입니다(A = πr²). 반지름이 5인 원의 넓이는 π × 5² = π × 25 ≈ 78.5398 제곱 단위입니다.
삼각형의 넓이는 얼마입니까?
삼각형의 넓이는 밑변에 수직 높이를 곱한 값의 절반입니다(A = ½ × 밑변 × 높이). 밑변이 4이고 높이가 3인 삼각형의 넓이는 ½ × 4 × 3 = 6 제곱 단위입니다.
사다리꼴의 넓이는 어떻게 구합니까?
사다리꼴의 넓이는 두 평행한 변의 합의 절반에 그 사이의 수직 높이를 곱한 값입니다: A = ½ × (a + b) × 높이. 평행한 변이 3과 5이고 높이가 4이면 넓이는 ½ × (3 + 5) × 4 = 16 제곱 단위입니다.
정다각형의 넓이는 얼마입니까?
정다각형의 넓이는 n × s² ÷ (4 × tan(π/n))이며, 여기서 n은 변의 개수이고 s는 한 변의 길이입니다. 한 변의 길이가 4인 정육각형(n = 6)의 넓이는 (6 × 4²) ÷ (4 × tan(30°)) ≈ 41.5692 제곱 단위입니다.
타원의 넓이는 어떻게 계산합니까?
타원의 넓이는 π에 두 반축을 곱한 값입니다: A = π × a × b, 여기서 a와 b는 각각 장반축과 단반축의 길이입니다. 반축이 3과 5인 타원의 넓이는 π × 3 × 5 ≈ 47.1239 제곱 단위입니다.
부채꼴의 넓이는 얼마입니까?
부채꼴의 넓이는 반지름의 제곱에 라디안 단위의 중심각을 곱한 값의 절반입니다: A = ½r²θ. 반지름이 5이고 중심각이 60°(θ = π/3 라디안)인 부채꼴의 넓이는 ½ × 25 × (π/3) ≈ 13.0900 제곱 단위입니다.
이 계산기는 넓이와 함께 둘레도 제시합니까?
네, 주어진 입력값으로 둘레가 명확히 정의되는 도형 — 직사각형, 타원, 정다각형, 부채꼴 — 에 대해서는 둘레도 함께 제시합니다(원의 경우 원주, 부채꼴의 경우 호의 길이도 제시합니다).
참고 자료
- NIST Handbook 44 / NIST Guide to the SI — standard geometric unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Regular Polygon." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).