방법 1: 밑변 곱하기 높이, 나누기 2
가장 익숙한 삼각형 넓이 공식은 넓이 = 1/2×밑변×높이이며, 여기서 높이는 선택한 밑변에서 마주보는 꼭짓점까지의 수직 거리를 의미합니다 -- 기울어진 변의 길이가 아닙니다. 이 방법은 밑변과 그에 대한 수선의 높이를 둘 다 알고 있거나 직접 측정할 수 있을 때 적용되며, 직각삼각형이나 고도가 표시된 격자·도형 위의 삼각형에서 흔히 쓰입니다.
예제: 어떤 삼각형의 밑변이 8단위이고 수선의 높이가 5단위입니다. 공식을 적용하면: 넓이 = 1/2×8×5 = 1/2×40 = 20제곱단위입니다. 이 방법은 삼각법이 필요 없으며, 삼각형의 각이나 나머지 두 변의 길이를 몰라도 됩니다 -- 밑변으로 선택한 변 하나와 그에 수직으로 측정한 직선 높이만 있으면 됩니다.
방법 2: 세 변의 길이만으로 구하는 헤론의 공식
삼각형의 세 변의 길이만 알고 있고 높이나 각이 직접 주어지지 않았을 때, 헤론의 공식은 그 세 길이만으로 넓이를 계산합니다. 먼저 반둘레 s = (a + b + c) / 2를 구한 다음, 넓이를 s(s - a)(s - b)(s - c)의 제곱근으로 구합니다.
예제: 어떤 삼각형의 변이 a = 9, b = 10, c = 11입니다. 1단계: 반둘레는 s = (9 + 10 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15입니다. 2단계: 넓이 = 15 × (15-9) × (15-10) × (15-11)의 제곱근 = 15 × 6 × 5 × 4의 제곱근 = 1800의 제곱근이며, 약 42.4264제곱단위입니다. 헤론의 공식을 적용하기 전에 세 길이가 실제로 삼각형을 이루는지 확인할 필요가 있습니다: 각 변은 나머지 두 변의 합보다 짧아야 하며(삼각부등식), 9, 10, 11은 이 조건을 만족합니다.
방법 3: 두 변과 사잇각으로 구하는 1/2×a×b×sin(C)
삼각형의 두 변과 그 사이의 각(사잇각)을 알고 있지만 수선의 높이는 모를 때, 삼각비 넓이 공식이 적용됩니다: 넓이 = 1/2×a×b×sin(C), 여기서 a와 b는 알고 있는 두 변이고 C는 그 사이의 각입니다.
예제: 어떤 삼각형의 변이 a = 7, b = 10이고 사잇각이 C = 40도입니다. 공식을 적용하면: 넓이 = 1/2×7×10×sin(40도) = 35×sin(40도)입니다. sin(40도)는 약 0.6428이므로, 넓이는 약 35×0.6428 = 22.4976제곱단위입니다. 이 방법은 측량이나 항법 문제에서 특히 유용한데, 이런 경우 수선의 높이보다 두 측정 거리와 그 사이의 각을 직접 구하기가 더 쉬운 경우가 많기 때문입니다.
어떤 방법을 써야 할까?
이 세 방법은 같은 문제를 두고 경쟁하는 접근법이 아닙니다 -- 각각 서로 다른 조합의 측정값에 적합하며, 보유한 데이터에 맞는 방법을 선택하면 직접 주어지지 않은 높이나 각을 먼저 계산하는 불필요한 단계를 피할 수 있습니다.
| 알고 있는 값 | 최적의 방법 | 공식 |
|---|---|---|
| 밑변과 수선의 높이 | 밑변×높이 ÷ 2 | 넓이 = 1/2×밑변×높이 |
| 세 변의 길이(SSS), 각을 모름 | 헤론의 공식 | 넓이 = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2 |
| 두 변과 사잇각(SAS) | 삼각비 공식 | 넓이 = 1/2×a×b×sin(C) |
삼각형 넓이를 구할 때 흔히 하는 실수
밑변-높이 방법에서 가장 흔한 오류는 기울어진 변의 길이를 수선의 높이 대신 사용하는 것입니다 -- 이 둘은 삼각형이 밑변에서 직각을 이룰 때만 같으므로, 다른 경우에 기울어진 변을 사용하면 계산된 넓이가 부풀려집니다. 높이는 실제로 그려진 삼각형의 어떤 변과도 일치하지 않더라도, 항상 선택한 밑변에 수직인 선을 따라 측정해야 합니다.
삼각비 방법에서 흔한 오류는 알고 있는 두 변 사이에 실제로 끼어 있지 않은 각을 사용하는 것입니다 -- 공식 넓이 = 1/2×a×b×sin(C)에서 C는 반드시 변 a와 b 사이에 직접 위치한 각이어야 하며, 삼각형의 다른 두 각 중 하나여서는 안 됩니다. 삼각부등식을 위반하는 세 길이(한 변이 나머지 두 변의 합보다 긴 경우)에 헤론의 공식을 적용하면 음수의 제곱근을 구하려 하게 되며, 이는 그런 삼각형이 존재하지 않음을 나타냅니다.
자주 묻는 질문
삼각형의 넓이 공식은 무엇인가요?
가장 흔한 공식은 넓이 = 1/2×밑변×높이이며, 여기서 높이는 밑변에서 마주보는 꼭짓점까지의 수직 거리입니다. 세 변의 길이만 알고 있을 때는 헤론의 공식을 대신 사용하고, 두 변과 사잇각을 알고 있을 때는 넓이 = 1/2×a×b×sin(C)가 적용됩니다. 세 공식 모두 같은 삼각형에 대해 같은 넓이를 구해줍니다.
세 변의 길이만으로 삼각형의 넓이를 어떻게 구하나요?
헤론의 공식을 사용합니다: 반둘레 s = (a + b + c) / 2를 계산한 다음, 넓이 = s(s-a)(s-b)(s-c)의 제곱근을 구합니다. 변이 9, 10, 11인 삼각형의 경우 s = 15이고 넓이 = (15×6×5×4)의 제곱근 = 1800의 제곱근, 약 42.4264제곱단위입니다.
두 변과 하나의 각으로 삼각형의 넓이를 어떻게 구하나요?
삼각비 공식 넓이 = 1/2×a×b×sin(C)를 사용합니다. 여기서 a와 b는 알고 있는 두 변이고 C는 그 사이에 낀 각입니다. 변이 7과 10이고 사잇각이 40도인 경우, 넓이 = 1/2×7×10×sin(40도), 약 22.4976제곱단위입니다.
높이를 몰라도 삼각형의 넓이를 구할 수 있나요?
네. 세 변의 길이만 알고 있다면 헤론의 공식으로 높이 측정 없이 넓이를 구할 수 있습니다. 두 변과 그 사이의 각을 알고 있다면 삼각비 공식 1/2×a×b×sin(C) 역시 높이가 필요 없는데, 사잇각의 사인 값이 사실상 높이를 대신하기 때문입니다.
밑변-높이 공식에서 높이는 왜 반드시 수직이어야 하나요?
밑변-높이 공식 넓이 = 1/2×밑변×높이는 같은 밑변과 높이를 가진 직사각형을 대각선으로 자른 것에서 유도되며, 이 유도는 높이가 밑변에 수직인 선을 따라 측정될 때만 성립합니다. 실제 수직 높이 대신 기울어진 변의 길이를 대입하면 부정확하게 부풀려진 넓이가 나옵니다.
참고 자료
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Triangle Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Geometry. Cengage Learning (triangle area formulas and the triangle inequality).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (the trigonometric area formula, 1/2 ab sin C).