입체별 부피 및 겉넓이 공식
아래 표는 각 입체에 사용되는 부피 공식과 겉넓이 공식을 정리한 것입니다.
| 입체 | 부피 공식 | 겉넓이 공식 |
|---|---|---|
| 구 | V = (4/3)πr³ | SA = 4πr² |
| 정육면체 | V = s³ | SA = 6s² |
| 직육면체 | V = lwh | SA = 2(lw + lh + wh) |
| 원기둥 | V = πr²h | SA = 2πr² + 2πrh |
| 원뿔 | V = (1/3)πr²h | SA = πr² + πr·slant |
| 사각뿔 | V = (1/3)l²h | SA = l² + 2l·slant |
| 반구 | V = (2/3)πr³ | SA = 3πr² |
| 원뿔대 | V = (1/3)πh(r₁²+r₁r₂+r₂²) | SA = π(r₁²+r₂²) + π(r₁+r₂)·slant |
- 원뿔, 각뿔, 원뿔대의 겉넓이 공식에는 모선 길이(또는 빗모서리)가 사용되며, 이는 반지름/모서리와 높이로부터 피타고라스 정리를 통해 내부적으로 유도됩니다. 입력한 수직 높이와는 다른 값입니다.
- 여기서 "겉넓이"는 밑면을 포함한 전체 겉넓이를 뜻하며 옆면만의 넓이가 아닙니다. 옆넓이 구분이 필요하면 전용 겉넓이 계산기를 참고하십시오.
- 모든 공식은 직립(빗각이 아닌) 입체를 가정합니다. 즉 꼭짓점이나 윗면이 밑면 중심 바로 위에 놓입니다.
부피란 무엇입니까?
부피는 입체가 둘러싸는 3차원 공간의 양이며 세제곱 단위(예: 세제곱미터 또는 세제곱피트)로 측정합니다. 각 정형 입체에는 구의 반지름이나 직육면체의 길이, 너비, 높이처럼 정의 치수와 부피를 연결하는 닫힌 형태의 공식이 있습니다.
여기서 모든 입체에 대해 부피와 함께 표시되는 겉넓이는 모든 외부 면과 곡면의 총 넓이입니다. 겉넓이는 제곱 단위를 사용하며 부피와는 별개의 공식으로 계산합니다. 두 값은 서로 다른 물리적 성질을 나타내므로 바꿔 쓸 수 없습니다.
이 부피 계산기 사용 방법
- 입체 드롭다운에서 측정하려는 입체를 선택합니다.
- 요청된 치수를 입력합니다. 예를 들어 구는 반지름을, 직육면체는 길이, 너비, 높이를 입력합니다.
- 원뿔대의 경우 아랫면 반지름, 윗면 반지름(radius2), 두 원형 면 사이의 수직 높이를 입력합니다.
- 사각뿔의 경우 밑면 모서리 길이를 "길이"로 입력하고 밑면에서 꼭짓점까지의 수직 높이를 입력합니다.
- 치수를 바꾸는 즉시 갱신되는 부피와 겉넓이를 확인합니다.
각 입체의 부피를 구하는 공식
각 입체의 부피 공식은 미적분(입체의 높이나 반지름을 따라 단면적을 적분)에서 유도되지만, 이러한 표준 도형에서는 간단한 닫힌 형태의 식으로 정리됩니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름을 입력하는 경우: 구나 반구에서는 부피가 8배로, 원기둥이나 원뿔에서는 4배로 과대평가됩니다. 후자의 부피는 r³이 아니라 r²에 의존하기 때문입니다.
- 정육면체의 모서리 길이를 직육면체의 독립적인 길이, 너비, 높이와 혼동하는 경우.
- 원뿔대에서 어느 면이 어느 것인지 인식하지 못한 채 윗면 반지름(radius2)을 아랫면 반지름보다 크게 입력하는 경우. 공식은 대칭이지만 표기가 방향을 결정합니다.
- 반지름은 인치인데 높이는 피트로 입력하는 등 단위를 섞어 쓰면 잘못된 결과가 나옵니다.
- 부피와 겉넓이가 같은 방식으로 변한다고 가정하는 경우. 구의 반지름을 2배로 하면 부피는 8배가 되지만 겉넓이는 4배에 그칩니다.
자주 묻는 질문
구의 부피는 어떻게 구합니까?
구의 부피는 (4/3) × π × 반지름³입니다. 반지름이 3인 구의 부피는 (4/3) × π × 27 ≈ 113.0973 세제곱 단위입니다.
원기둥의 부피는 얼마입니까?
원기둥의 부피는 π × 반지름² × 높이입니다. 반지름 3, 높이 5인 원기둥의 부피는 π × 9 × 5 ≈ 141.3717 세제곱 단위입니다.
원뿔의 부피는 어떻게 계산합니까?
원뿔의 부피는 π × 반지름² × 높이의 3분의 1입니다. 반지름 3, 높이 5인 원뿔의 부피는 (1/3) × π × 9 × 5 ≈ 47.1239 세제곱 단위이며, 이는 같은 반지름과 높이를 가진 원기둥 부피의 정확히 3분의 1입니다.
직육면체의 부피는 얼마입니까?
직육면체의 부피는 길이 × 너비 × 높이입니다. 4 × 3 × 5 크기의 직육면체의 부피는 4 × 3 × 5 = 60 세제곱 단위입니다.
원뿔대의 부피는 어떻게 구합니까?
원뿔대의 부피는 (1/3) × π × 높이 × (r₁² + r₁r₂ + r₂²)이며, 여기서 r₁과 r₂는 두 원형 면의 반지름입니다. 아랫면 반지름 3, 윗면 반지름 2, 높이 5인 원뿔대의 부피는 (1/3) × π × 5 × (9 + 6 + 4) ≈ 99.4838 세제곱 단위입니다.
계산기가 겉넓이도 함께 보여 주는 이유는 무엇입니까?
부피와 겉넓이는 모두 입체를 설명하는 표준 지표이며 함께 필요한 경우가 많습니다. 예를 들어 용량에는 부피가, 재료나 도장 소요량에는 겉넓이가 필요하므로 입력한 동일한 치수로 두 값을 모두 계산합니다.
구와 반구의 공식은 어떻게 다릅니까?
반구는 부피 기준으로 정확히 구의 절반입니다. 즉 V = (2/3)πr³이며 완전한 구는 (4/3)πr³입니다. 반면 겉넓이는 평평한 원형 밑면을 포함하므로 구의 절반이 아닙니다. SA = 3πr²(곡면 2πr² + 평면 πr²)이며 완전한 구는 4πr²입니다.
참고 자료
- NIST Guide to the SI — cubic unit conventions.
- Weisstein, Eric W. "Conical Frustum." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard solid-geometry textbook conventions (e.g. Larson, Geometry, Cengage Learning).