❗ Kalkulator Faktorial

Memahami seberapa cepat faktorial tumbuh

Pertumbuhan faktorial dengan cepat melampaui pertumbuhan eksponensial, seperti ditunjukkan pada tabel nilai eksak dan perkiraan di bawah ini.

• 18! (≈6,40 × 10¹⁵) adalah faktorial terbesar yang masih berada di bawah batas bilangan bulat aman, karena Number.MAX_SAFE_INTEGER pada JavaScript adalah 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵; kalkulator ini karena itu hanya menampilkan nilai eksak hingga n = 18. Di atas batas tersebut, faktorial masih dapat direpresentasikan secara eksak sebagai bilangan double-precision hingga 22!, karena setiap faktorial mengandung banyak faktor dua, dan 23! adalah yang pertama mengalami pembulatan.
• Untuk n dari 19 hingga 170, hanya perkiraan notasi ilmiah (dan ln(n!)) yang ditampilkan, karena bilangan bulat eksaknya akan membutuhkan presisi lebih tinggi daripada yang didukung oleh aritmetika floating-point standar tanpa pustaka big-integer.
• Melebihi n = 170, n! melampaui nilai terbesar yang dapat direpresentasikan oleh bilangan floating-point double-precision standar (kira-kira 1,8 × 10³⁰⁸) dan meluap menjadi tak hingga, sehingga kalkulator ini membatasi n hingga 170.

Apa itu faktorial?

Faktorial dari bilangan bulat non-negatif n, dilambangkan n!, didefinisikan sebagai hasil kali semua bilangan bulat positif dari 1 hingga n: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1. Misalnya, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Menurut definisinya, 0! = 1 (hasil kali kosong, identitas perkalian), yang merupakan konvensi standar yang digunakan di seluruh kombinatorika.

Faktorial tumbuh sangat cepat — jauh lebih cepat daripada fungsi eksponensial dari n. 10! = 3.628.800, sedangkan 20! sudah melebihi 2,4 kuintiliun (2,43 × 10¹⁸), lebih besar daripada jumlah detik sejak Big Bang. Pertumbuhan yang meledak ini adalah alasan mengapa faktorial biasanya ditampilkan dalam notasi ilmiah untuk n yang lebih besar, dan mengapa nilai bilangan bulat eksak menjadi tidak praktis untuk ditampilkan melewati titik tertentu.

Faktorial adalah dasar dari kombinatorika: faktorial menghitung jumlah cara untuk menyusun n objek berbeda secara berurutan (permutasi), dan muncul sebagai penyebut dalam formula koefisien binomial yang digunakan untuk menghitung pemilihan tanpa urutan (kombinasi). Faktorial juga muncul dalam teori peluang, kalkulus (koefisien deret Taylor), dan banyak identitas kombinatorika bentuk tertutup.

Cara menggunakan kalkulator faktorial ini

1. Masukkan bilangan bulat n antara 0 dan 170 (170! mendekati faktorial terbesar yang dapat direpresentasikan oleh bilangan floating-point double-precision standar sebelum meluap menjadi tak hingga).
2. Baca hasilnya dalam notasi ilmiah, yang selalu ditampilkan terlepas dari besarnya n.
3. Untuk n ≤ 18, nilai bilangan bulat eksak dari n! juga ditampilkan, karena faktorial yang lebih besar melampaui rentang bilangan bulat yang dapat direpresentasikan secara eksak dalam aritmetika double-precision standar (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. Tinjau logaritma natural dari n! (berguna untuk bekerja dengan faktorial yang sangat besar tanpa meluap) dan jumlah nol di akhir pada representasi desimal eksak dari n!.

Cara faktorial, nol di akhir, dan ln(n!) dihitung

Hubungan rekursif yang mendefinisikannya adalah n! = n × (n − 1)!, dengan kasus dasar 0! = 1. Contoh perhitungan: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Untuk n yang besar, logaritma natural ln(n!) dihitung sebagai jumlah Σ ln(k) untuk k = 2 hingga n, yang menghindari peluapan yang akan terjadi jika mengalikan faktorial mentah secara langsung. Notasi ilmiah kemudian diturunkan dari jumlah ini melalui logaritma basis-10: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), dengan bagian bilangan bulat memberikan eksponen dan bagian pecahan (dikonversi kembali dengan 10^x) memberikan mantisa.

Jumlah nol di akhir n! sama dengan jumlah berapa kali 10 membagi n! secara habis, yang — karena 10 = 2 × 5 dan faktor 2 selalu lebih banyak daripada faktor 5 dalam suatu faktorial — direduksi menjadi menghitung faktor 5 menggunakan formula Legendre: nol di akhir = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... Contoh perhitungan untuk 10!: ⌊10/5⌋ = 2, ⌊10/25⌋ = 0, sehingga 10! memiliki 2 nol di akhir — dikonfirmasi oleh 10! = 3.628.800.

Kesalahan umum

• Lupa bahwa 0! = 1, bukan 0 — ini adalah konvensi matematis standar (hasil kali kosong sama dengan 1), yang penting agar formula kombinatorika berfungsi dengan benar pada kasus batasnya.
• Mengasumsikan faktorial dapat dihitung secara eksak untuk n yang sangat besar sembarang dalam aritmetika standar — melebihi n = 22, nilai bilangan bulat eksak melampaui apa yang dapat direpresentasikan oleh bilangan floating-point double-precision tanpa pembulatan.
• Mengacaukan n! (faktorial) dengan nⁿ (n pangkat n) — faktorial mengalikan barisan bilangan bulat yang menurun hingga 1, sedangkan perpangkatan mengalikan n dengan dirinya sendiri sebanyak n kali; keduanya tumbuh dengan laju yang berbeda dan cepat menyimpang (5! = 120 vs. 5⁵ = 3125).
• Memasukkan angka negatif atau bukan bilangan bulat — faktorial hanya didefinisikan untuk bilangan bulat non-negatif dalam pengertian dasar ini (fungsi Gamma memperluas konsep ini ke bilangan bukan bulat, tetapi itu adalah formula terpisah yang lebih lanjut).

Pertanyaan yang sering diajukan

Referensi

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)