Memahami FPB dan KPK bersama-sama
FPB dan KPK berada di ujung yang berlawanan dari sepasang pertanyaan yang saling terkait: FPB mencari faktor bersama terbesar, sedangkan KPK mencari kelipatan bersama terkecil.
| Angka | FPB | KPK | Kegunaan umum |
|---|---|---|---|
| 12, 18, 24 | 6 | 72 | Menyederhanakan pecahan 12/18 menjadi 2/3; mencari penyebut yang sama |
| 4, 6 | 2 | 12 | Mencari kapan dua siklus berulang dengan panjang 4 dan 6 akan sejajar berikutnya |
| 7, 13 | 1 (koprima) | 91 | Angka tanpa faktor bersama selain 1 memiliki KPK sama dengan hasil kalinya |
- Ketika dua angka tidak memiliki faktor bersama selain 1, keduanya disebut koprima (atau relatif prima); FPB-nya adalah 1 dan KPK-nya sama dengan hasil kali kedua angka tersebut.
- FPB digunakan untuk menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana dengan membagi pembilang dan penyebut dengan FPB-nya. KPK digunakan untuk mencari penyebut sama terkecil ketika menjumlahkan atau mengurangkan pecahan dengan penyebut yang berbeda.
- Kalkulator ini memperlakukan semua angka yang dimasukkan sebagai bilangan bulat positif; input desimal atau negatif dikonversi menjadi nilai bilangan bulat absolut yang telah dibulatkan sebelum dihitung.
Apa itu FPB dan KPK?
Faktor persekutuan terbesar (FPB) dari sekumpulan bilangan bulat adalah bilangan bulat terbesar yang membagi masing-masing bilangan tersebut tanpa menyisakan sisa. Misalnya, FPB dari 12, 18, dan 24 adalah 6, karena 6 membagi habis ketiga angka tersebut (12÷6=2, 18÷6=3, 24÷6=4) dan tidak ada angka yang lebih besar yang bisa melakukannya. FPB juga umum disebut pembagi persekutuan terbesar (Greatest Common Divisor/GCD).
Kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari sekumpulan bilangan bulat adalah bilangan bulat positif terkecil yang habis dibagi oleh masing-masing bilangan tersebut. KPK dari 12, 18, dan 24 adalah 72, karena 72 adalah angka terkecil yang merupakan kelipatan dari ketiganya (72÷12=6, 72÷18=4, 72÷24=3).
FPB dan KPK sering digunakan bersama-sama: FPB menyederhanakan pecahan ke bentuk paling sederhana dan mencari kelompok berukuran sama terbesar yang mungkin dari kuantitas yang berbeda, sedangkan KPK mencari penyebut yang sama untuk menjumlahkan atau membandingkan pecahan dan menentukan kapan peristiwa yang berulang (seperti dua siklus dengan waktu berbeda) akan bertepatan berikutnya.
Cara menggunakan kalkulator FPB dan KPK ini
- Masukkan dua bilangan bulat positif atau lebih, dipisahkan dengan ; (mis. 12; 18; 24).
- Kalkulator ini mencari FPB menggunakan algoritma Euclid, diterapkan berpasangan pada semua angka yang Anda masukkan.
- KPK dihitung dari FPB menggunakan identitas KPK(a, b) = (a × b) ÷ FPB(a, b), diperluas secara berpasangan ke seluruh daftar.
- Baca FPB, KPK, dan — ketika FPB adalah 2 atau lebih — faktorisasi primanya.
Algoritma Euclid dan hubungan FPB–KPK
FPB dihitung menggunakan algoritma Euclid, salah satu algoritma tertua dalam matematika (dijelaskan dalam Elements karya Euclid, Buku VII, sekitar 300 SM). Algoritma ini secara berulang menggantikan angka yang lebih besar dari dua angka dengan sisa hasil pembagian angka yang lebih besar dengan yang lebih kecil, hingga sisanya 0 — nilai bukan nol terakhir adalah FPB-nya. Contoh perhitungan: FPB(12, 18): 18 = 1×12 + 6, lalu 12 = 2×6 + 0, sehingga FPB(12, 18) = 6. Kemudian FPB(6, 24): 24 = 4×6 + 0, sehingga FPB(6, 24) = 6, yang menghasilkan FPB(12, 18, 24) = 6.
Untuk lebih dari dua angka, FPB dicari dengan menerapkan algoritma dua-angka secara berulang: FPB(a, b, c) = FPB(FPB(a, b), c).
KPK dari dua angka berhubungan langsung dengan FPB-nya melalui identitas KPK(a, b) = (a × b) ÷ FPB(a, b) — ini berlaku karena hasil kali dua angka selalu sama dengan hasil kali FPB dan KPK-nya. Contoh perhitungan: KPK(12, 18) = (12 × 18) ÷ FPB(12, 18) = 216 ÷ 6 = 36. Diperluas ke angka ketiga: KPK(36, 24) = (36 × 24) ÷ FPB(36, 24) = 864 ÷ 12 = 72, yang menghasilkan KPK(12, 18, 24) = 72.
Kesalahan umum
- Mengacaukan FPB dengan KPK — FPB selalu kurang dari atau sama dengan angka terkecil yang dimasukkan, sedangkan KPK selalu lebih besar dari atau sama dengan angka terbesar yang dimasukkan.
- Mengasumsikan KPK(a, b) = a × b selalu berlaku — jalan pintas ini hanya benar ketika a dan b koprima (FPB = 1); jika tidak, KPK(a, b) = (a × b) ÷ FPB(a, b).
- Mencoba mencari FPB atau KPK hanya dengan satu angka — kedua konsep ini memerlukan perbandingan setidaknya dua angka, karena 'FPB' dan 'KPK' dari satu angka dengan dirinya sendiri secara trivial hanyalah angka itu sendiri.
- Lupa bahwa FPB dan KPK didefinisikan untuk bilangan bulat positif, bukan pecahan atau desimal — input bukan bilangan bulat harus diinterpretasikan atau dikonversi sebelum menerapkan formula ini.
Pertanyaan yang sering diajukan
Bagaimana cara mencari faktor persekutuan terbesar (FPB) dari beberapa angka?
Metode paling efisien adalah algoritma Euclid: secara berulang gantikan angka yang lebih besar dengan sisa hasil pembagiannya dengan angka yang lebih kecil, hingga sisanya mencapai 0 — sisa bukan nol terakhir adalah FPB-nya. Untuk 12 dan 18: 18 mod 12 = 6, lalu 12 mod 6 = 0, sehingga FPB(12, 18) = 6.
Bagaimana cara mencari kelipatan persekutuan terkecil (KPK) dari beberapa angka?
Pertama cari FPB-nya, lalu terapkan KPK(a, b) = (a × b) ÷ FPB(a, b). Untuk 12 dan 18: FPB = 6, sehingga KPK = (12 × 18) ÷ 6 = 216 ÷ 6 = 36. Untuk lebih dari dua angka, terapkan formula secara berpasangan, menggabungkan KPK yang sedang berjalan dengan setiap angka baru.
Apa hubungan antara FPB dan KPK?
Untuk dua bilangan bulat positif a dan b mana pun, hasil kali FPB dan KPK-nya selalu sama dengan hasil kali angka-angka itu sendiri: FPB(a, b) × KPK(a, b) = a × b. Identitas ini yang memungkinkan KPK dihitung dengan cepat setelah FPB diketahui, tanpa perlu mendaftar kelipatan.
Apa artinya jika dua angka bersifat koprima?
Dua angka bersifat koprima (atau relatif prima) jika satu-satunya faktor positif bersama mereka adalah 1 — FPB-nya adalah 1. Angka-angka koprima tidak harus prima itu sendiri; misalnya, 8 dan 9 bersifat koprima (FPB = 1) meskipun tidak satu pun dari keduanya adalah bilangan prima. Ketika dua angka bersifat koprima, KPK-nya sama dengan hasil kalinya.
Bagaimana FPB digunakan untuk menyederhanakan pecahan?
Bagi pembilang dan penyebut suatu pecahan dengan FPB-nya untuk menyederhanakannya ke bentuk paling sederhana. Untuk 12/18, FPB dari 12 dan 18 adalah 6, sehingga 12/18 = (12÷6)/(18÷6) = 2/3, yang tidak dapat disederhanakan lebih lanjut karena FPB(2, 3) = 1.
Referensi
- Euclid. Elements, Book VII, Propositions 1–2 (the Euclidean algorithm), c. 300 BCE. Translated edition: Heath TL. Euclid's Elements. Dover, 1956.
- Rosen KH. Elementary Number Theory and Its Applications. 6th ed. Pearson, 2010. (GCD, LCM and the Euclidean algorithm.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §27.1 Number Theory: Multiplicative Number Theory. dlmf.nist.gov.