आधार रूपांतरण संदर्भ तालिका
तालिका में समान मान चारों आधारों में लिखे गए हैं। ध्यान दें कि एक हेक्साडेसिमल अंक चार बाइनरी अंकों के और एक ऑक्टल अंक तीन बाइनरी अंकों के बराबर होता है।
| दशमलव | बाइनरी | ऑक्टल | हेक्साडेसिमल |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
- यह कैलकुलेटर IEEE 754 डबल-प्रिसिज़न अंकगणित की सुरक्षित-इंटीजर सीमा (2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991) तक के गैर-ऋणात्मक इंटीजर संभालता है; इससे बड़े इनपुट को चुपचाप राउंड करने के बजाय अस्वीकार कर दिया जाता है।
- भिन्नात्मक मान और ऋणात्मक संख्याएँ (two's-complement प्रतिनिधित्व) इस कन्वर्टर के दायरे से बाहर हैं।
बाइनरी संख्या पद्धति क्या है?
बाइनरी आधार-2 की पोज़िशनल संख्या पद्धति है: यह हर संख्या को सिर्फ़ 0 और 1 अंकों से लिखती है, जहाँ हर स्थान 2 की एक घात दर्शाता है। बाइनरी संख्या 1010 को दाईं से पढ़ने पर अंक 0×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8 = दशमलव में 10 दर्शाते हैं। डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स जानकारी को बाइनरी में स्टोर और प्रोसेस करता है, क्योंकि दो अवस्थाओं (ऑन/ऑफ) वाला सर्किट एलिमेंट सीधे एक बाइनरी अंक यानी बिट से मेल खाता है।
हेक्साडेसिमल (आधार 16) और ऑक्टल (आधार 8) बाइनरी के सुविधाजनक साथी हैं। चूँकि 16 = 2⁴, इसलिए एक हेक्साडेसिमल अंक ठीक चार बाइनरी अंकों के बराबर होता है, और चूँकि 8 = 2³, एक ऑक्टल अंक ठीक तीन बाइनरी अंकों के बराबर होता है। हेक्साडेसिमल में 0–9 अंकों के साथ दस से पंद्रह तक के मानों के लिए अक्षर A–F इस्तेमाल होते हैं; दशमलव संख्या 255 बाइनरी में 11111111, हेक्साडेसिमल में FF और ऑक्टल में 377 है।
सभी पोज़िशनल पद्धतियाँ एक ही नियम मानती हैं: आधार b में dₙ…d₁d₀ अंकों से लिखी संख्या का मान हर अंक को उसकी स्थिति के अनुसार b की घात से गुणा करके जोड़ने पर मिलता है। इसलिए आधार बदलना पूरी तरह नोटेशन का काम है — पहले स्रोत आधार के अनुसार अंकों का मान निकालें, फिर लक्ष्य आधार से बार-बार भाग देकर उसे लिखें।
इस बाइनरी कैलकुलेटर का इस्तेमाल कैसे करें
- जिस संख्या को बदलना है उसे टाइप करें (अधिकतम 64 अंक; 0b, 0x या 0o जैसे प्रीफ़िक्स स्वीकार होते हैं और अनदेखा कर दिए जाते हैं)।
- वह आधार चुनें जिसमें संख्या लिखी है — बाइनरी, दशमलव, हेक्साडेसिमल या ऑक्टल।
- दशमलव मान और उसके बराबर बाइनरी, हेक्साडेसिमल व ऑक्टल रूप देखें।
- चुने गए आधार में मान्य अंक ही स्वीकार होते हैं; उदाहरण के लिए, ऑक्टल इनपुट में अंक 8 अमान्य है।
आधार रूपांतरण के पीछे का गणित
दशमलव में बदलने के लिए हर अंक को उसके आधार की, अंक की स्थिति (दाईं ओर से 0 गिनते हुए) वाली घात से गुणा करें और जोड़ें। दशमलव से बाहर बदलने के लिए, लक्ष्य आधार से बार-बार भाग दें और शेषफलों को उल्टे क्रम में पढ़ें।
उदाहरण: बाइनरी में 1010 बराबर है 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 2 = दशमलव में 10। 10 को अन्य आधारों में लिखना: 10 ÷ 16 = 0 शेष 10 → हेक्साडेसिमल में A; 10 ÷ 8 = 1 शेष 2 → ऑक्टल में 12।
सामान्य गलतियाँ
- किसी अन्य आधार में 10 को “दस” समझना — हर पोज़िशनल पद्धति में 10 का मतलब खुद वह आधार होता है (10₂ = 2, 10₈ = 8, 10₁₆ = 16)।
- चुने गए आधार में मौजूद न होने वाले अंकों का इस्तेमाल, जैसे ऑक्टल में 8 या 9, या हेक्साडेसिमल में F से आगे के अक्षर।
- बिट-समूह के आकार में गड़बड़ी: एक हेक्स अंक चार बिट का और एक ऑक्टल अंक तीन बिट का होता है, इसलिए बाइनरी अंकों को गलत तरीके से समूहित करने पर रूपांतरण गलत हो जाता है।
- यह भूल जाना कि शुरुआती शून्य से कुछ नहीं बदलता: 0010₂ और 10₂ दोनों दशमलव में 2 हैं।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
बाइनरी को हाथ से दशमलव में कैसे बदलें?
हर बाइनरी अंक को उसकी स्थिति की 2 की घात से गुणा करें, दाईं ओर के अंतिम अंक से 0 गिनते हुए, और परिणाम जोड़ें। 1101 के लिए: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13। दाएँ से बाएँ पढ़ने पर स्थिति के मान 1, 2, 4, 8, 16, 32 वगैरह होते हैं।
दशमलव को बाइनरी में कैसे बदलें?
संख्या को बार-बार 2 से भाग दें और हर शेषफल नोट करें। बाइनरी परिणाम शेषफलों को उल्टे क्रम में पढ़ने पर मिलता है। 13 के लिए: 13÷2 = 6 शेष 1, 6÷2 = 3 शेष 0, 3÷2 = 1 शेष 1, 1÷2 = 0 शेष 1 — ऊपर की ओर पढ़ने पर 1101 मिलता है।
कंप्यूटर बाइनरी का इस्तेमाल क्यों करते हैं?
डिजिटल सर्किट भरोसेमंद तरीके से दो वोल्टेज अवस्थाओं में फ़र्क कर पाते हैं, और हर अवस्था एक बाइनरी अंक (बिट) से मेल खाती है। दो अवस्थाओं के आस-पास हार्डवेयर बनाने से स्टोरेज और लॉजिक सरल और नॉइज़-सहनशील बनते हैं, इसलिए सभी मुख्यधारा के प्रोसेसर और मेमोरी भौतिक स्तर पर डेटा को बाइनरी में दर्शाते हैं, चाहे प्रोग्रामर ऊपर कोई भी नोटेशन इस्तेमाल करें।
हेक्साडेसिमल का इस्तेमाल किसलिए होता है?
हेक्साडेसिमल बाइनरी लिखने का एक संक्षिप्त तरीका है: एक हेक्स अंक ठीक चार बिट एनकोड करता है, इसलिए एक बाइट हमेशा दो हेक्स अंकों (00–FF) का होता है। यह मेमोरी एड्रेस, कलर कोड (जैसे #FF6600), MAC एड्रेस और रॉ डेटा डंप के लिए मानक नोटेशन है क्योंकि यह बाइनरी से कहीं छोटा होते हुए भी अंक-दर-अंक उसमें बदला जा सकता है।
इस कैलकुलेटर द्वारा स्वीकार की जाने वाली सबसे बड़ी संख्या क्या है?
इनपुट अधिकतम 64 अंकों तक और 2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991 तक के मानों तक सीमित हैं, जो कि IEEE 754 डबल-प्रिसिज़न फ़्लोटिंग पॉइंट द्वारा सटीक रूप से दर्शाई जा सकने वाली सबसे बड़ी इंटीजर है। इस सीमा से आगे, सामान्य JavaScript संख्याएँ इंटीजर सटीकता खो देती हैं, इसलिए कैलकुलेटर राउंड किए गए परिणाम के बजाय इनपुट को अस्वीकार कर देता है।
संदर्भ
- Knuth DE. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edition, Addison-Wesley, 1997 — positional number systems and radix conversion.
- IEEE Std 754-2019. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic — double-precision format and exact-integer range.