Teorema del coseno frente al de Pitágoras
La tabla muestra cómo se comporta el teorema del coseno al variar el ángulo comprendido, con el de Pitágoras como caso particular en 90°.
| Ángulo C | cos C | Efecto sobre c² |
|---|---|---|
| 90° (ángulo recto) | 0 | c² = a² + b² (exactamente el teorema de Pitágoras) |
| < 90° (agudo) | positivo | c² < a² + b² (c es más corto que en el caso recto) |
| > 90° (obtuso) | negativo | c² > a² + b² (c es más largo que en el caso recto) |
- El teorema del coseno vale para cualquier triángulo, no solo para los rectángulos: es el caso general, y el de Pitágoras su caso particular en 90°.
- El ángulo C debe situarse estrictamente entre 0° y 180°; en cualquiera de esos extremos los tres puntos quedan alineados y no existe triángulo.
¿Qué es el teorema del coseno?
El teorema del coseno relaciona los tres lados de un triángulo con el coseno de uno de sus ángulos: c² = a² + b² − 2ab·cos C. Generaliza el teorema de Pitágoras, ya que cuando el ángulo C mide exactamente 90° se tiene cos C = 0 y la fórmula se reduce a c² = a² + b², la relación pitagórica de siempre.
Conocidos dos lados y el ángulo comprendido entre ellos (el caso LAL que se usa aquí), el teorema del coseno halla el tercer lado directamente; después, esa misma fórmula reordenada permite recuperar los dos ángulos restantes.
Cómo usar esta calculadora del teorema del coseno
- Introduce el lado a y el lado b, los dos lados conocidos.
- Introduce el ángulo C, el comprendido entre los lados a y b, estrictamente entre 0° y 180°.
- Consulta el lado c (el que faltaba), los ángulos A y B y el área del triángulo.
La fórmula del teorema del coseno
La misma relación de partida se reordena para despejar un lado o, una vez conocidos los tres lados, para obtener un ángulo.
Errores frecuentes
- Introducir un ángulo que no es el comprendido entre los lados a y b: el caso LAL del teorema del coseno exige precisamente ese ángulo.
- Perder el signo menos de c² = a² + b² − 2ab·cos C, algo fácil de pasar por alto cuando el ángulo es agudo y cos C resulta positivo.
- Recurrir al teorema del coseno para hallar un lado cuando solo se conocen dos ángulos y un lado: ese caso corresponde al teorema del seno.
- Introducir el ángulo C en radianes en lugar de en los grados que se esperan.
Preguntas frecuentes
¿Cuál es la fórmula del teorema del coseno?
c² = a² + b² − 2ab·cos C, donde C es el ángulo comprendido entre los lados a y b, y c el lado opuesto a ese ángulo.
¿Cómo se halla un lado desconocido con el teorema del coseno?
Se aplica la fórmula y se extrae la raíz cuadrada: c = √(a² + b² − 2ab·cos C). Con a = 5, b = 7 y C = 49°, c = √(25 + 49 − 2×5×7×cos 49°) ≈ √28,076 ≈ 5,2987.
¿Cómo se halla un ángulo con el teorema del coseno?
Se reordena la fórmula para despejar el coseno y se aplica la función inversa: A = cos⁻¹((b² + c² − a²) / (2bc)). Con a = 5, b = 7 y c ≈ 5,2987, el ángulo A ≈ 45,4117°.
¿Qué relación hay entre el teorema del coseno y el de Pitágoras?
Cuando el ángulo comprendido C mide exactamente 90°, se cumple cos C = 0 y el teorema del coseno c² = a² + b² − 2ab·cos C se reduce exactamente al de Pitágoras, c² = a² + b².
¿Cuándo se usa el teorema del coseno en lugar del seno?
El del coseno es el adecuado cuando conoces los tres lados (LLL) o dos lados y el ángulo comprendido (LAL), casos que el teorema del seno no resuelve directamente. El del seno, en cambio, sirve cuando conoces dos ángulos y un lado, o dos lados y un ángulo no comprendido.
¿Cuál es el área de un triángulo de lados 5 y 7 con un ángulo comprendido de 49°?
El área = ½ × a × b × sin C = ½ × 5 × 7 × sin(49°) ≈ 0,5 × 35 × 0,754710 ≈ 13,2074 unidades cuadradas.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource.
- Standard trigonometry textbook conventions (e.g. Larson, Trigonometry, Cengage Learning).