Dos leyes, dos conjuntos distintos de valores conocidos
Todo triángulo que no es un triángulo rectángulo -- llamado triángulo oblicuo -- puede resolverse por completo a partir de tres medidas conocidas, pero la fórmula que corresponde depende exactamente de cuáles tres medidas se conocen. La ley de senos y la ley de cosenos son las dos herramientas de uso general para esto, y cada una se adapta a una combinación distinta de datos conocidos.
| Valores conocidos | Método | Notas |
|---|---|---|
| Dos ángulos + cualquier lado (AAL o ALA) | Ley de senos | Siempre exactamente una solución |
| Dos lados + ángulo incluido (LAL) | Ley de cosenos | Siempre exactamente una solución |
| Tres lados (LLL) | Ley de cosenos | Siempre exactamente una solución (si se cumple la desigualdad triangular) |
| Dos lados + ángulo no incluido (LLA) | Ley de senos, con cuidado | Posibles cero, una o dos soluciones -- el caso ambiguo |
La ley de senos: dos ángulos y un lado (AAL/ALA)
La ley de senos establece que, en cualquier triángulo, la razón entre la longitud de un lado y el seno del ángulo directamente opuesto a él es la misma para los tres lados: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). Conociendo dos ángulos y cualquier lado, el tercer ángulo se deduce de inmediato del hecho de que los ángulos de un triángulo suman 180 grados, y los dos lados restantes se deducen directamente de la razón.
Ejemplo resuelto: ángulo A = 40 grados, lado a = 15 (opuesto al ángulo A), y ángulo B = 60 grados. Paso 1: ángulo C = 180 - 40 - 60 = 80 grados. Paso 2: lado b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 grados) / sin 40 grados = (15 x 0,8660) / 0,6428, aproximadamente 20,2094. Paso 3: lado c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 grados) / sin 40 grados, aproximadamente 22,9813. El área del triángulo, usando 1/2 x a x b x sin C, es aproximadamente 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 grados), aproximadamente 149,2681 unidades cuadradas.
La ley de cosenos: dos lados y el ángulo incluido (LAL), o tres lados (LLL)
La ley de cosenos generaliza el teorema de Pitágoras a triángulos sin ángulo recto: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), donde C es el ángulo incluido entre los lados a y b. Cuando C es exactamente 90 grados, cos(C) = 0 y la fórmula se reduce exactamente al teorema de Pitágoras, a^2 + b^2 = c^2.
Ejemplo resuelto: lados a = 8 y b = 11, con un ángulo incluido de C = 37 grados. Paso 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 grados) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, aproximadamente 185 - 140,55 = 44,45, por lo que c es aproximadamente 6,6663. Paso 2: una vez conocidos los tres lados, los ángulos restantes se deducen de la fórmula reordenada, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), lo que da un ángulo A de aproximadamente 46,2375 grados y un ángulo B de aproximadamente 96,7625 grados (que suman con C = 37 grados 180 grados, como se requiere). El área, 1/2 x a x b x sin(C), es aproximadamente 1/2 x 8 x 11 x sin(37 grados), aproximadamente 26,4799 unidades cuadradas.
El caso ambiguo LLA, explicado con honestidad
Cuando se conocen dos lados y un ángulo no incluido (LLA) -- por ejemplo, el lado a, el lado b y el ángulo A, donde A no es el ángulo entre a y b -- la ley de senos aún puede aplicarse, pero el número de triángulos válidos que satisfacen las medidas dadas no siempre es uno. Según los valores específicos, puede haber cero triángulos (el ángulo y los lados dados no pueden formar un triángulo cerrado en absoluto), exactamente un triángulo, o exactamente dos triángulos distintos, ambos válidos.
El factor decisivo es la altura h = b x sin(A), comparada con el lado a. Si a es menor que h, no existe ningún triángulo. Si a es igual a h, existe exactamente un triángulo, con un ángulo recto en el vértice opuesto al lado a. Si h es menor que a y a es menor que b, existen dos triángulos distintos. Si a es mayor o igual que b, existe exactamente un triángulo.
Ejemplo resuelto del caso ambiguo: lado a = 20, lado b = 25, ángulo A = 40 grados. Aquí h = 25 x sin(40 grados), aproximadamente 16,0697, y dado que 16,0697 es menor que 20 y 20 es menor que 25, dos triángulos distintos satisfacen estas medidas. Resolviendo ambos: el primero tiene un ángulo B de aproximadamente 53,4641 grados, un ángulo C de aproximadamente 86,5359 grados y un lado c de aproximadamente 31,0576; el segundo tiene un ángulo B de aproximadamente 126,5359 grados, un ángulo C de aproximadamente 13,4641 grados y un lado c de aproximadamente 7,2446. Ambos triángulos usan los mismos valores iniciales de a = 20, b = 25 y A = 40 grados, y sin embargo describen dos formas genuinamente diferentes -- que es precisamente la razón por la que el caso LLA se llama ambiguo, y por la que requiere esta comprobación adicional que AAL, ALA y LAL no requieren.
Elegir la fórmula correcta en la práctica
En campos como la topografía, la navegación y la ingeniería, la recomendación práctica es identificar qué tres medidas están realmente disponibles antes de elegir una fórmula, en lugar de recurrir por costumbre a una ley por defecto. Si se miden dos ángulos (algo habitual al triangular desde dos puntos de observación fijos), la ley de senos se aplica directa y sin ambigüedad. Si se miden dos distancias y el ángulo entre ellas (algo habitual cuando dos lados se trazan desde un único vértice), la ley de cosenos se aplica directa y sin ambigüedad.
El caso LLA surge más a menudo de lo que parece -- por ejemplo, al medir un lado conocido, un segundo lado y un ángulo que no está físicamente entre ellos -- y dado que puede producir silenciosamente dos respuestas válidas, vale la pena comprobar explícitamente la comparación entre a y h descrita arriba siempre que LLA sea la única combinación disponible, en lugar de asumir que el primer triángulo calculado es el único que se ajusta a los datos.
Preguntas frecuentes
¿Cuándo debo usar la ley de senos en lugar de la ley de cosenos?
Usa la ley de senos cuando se conocen dos ángulos y cualquier lado (AAL o ALA), lo que siempre tiene exactamente una solución, o cuando se conocen dos lados y un ángulo no incluido (LLA), lo que requiere comprobar el caso ambiguo. Usa la ley de cosenos cuando se conocen dos lados y el ángulo incluido (LAL) o los tres lados (LLL).
¿Qué es el caso ambiguo LLA?
LLA significa que se conocen dos lados y un ángulo no incluido. Según los valores específicos, esta combinación puede producir cero, uno o dos triángulos válidos, a diferencia de AAL, ALA o LAL, que siempre producen exactamente uno. Por ejemplo, con a = 20, b = 25 y ángulo A = 40 grados, dos triángulos distintos satisfacen las medidas dadas -- uno con un ángulo B de aproximadamente 53,4641 grados, el otro con un ángulo B de aproximadamente 126,5359 grados.
¿Cómo se halla un lado desconocido usando la ley de cosenos?
Aplica c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), donde C es el ángulo incluido entre los lados a y b, y luego calcula la raíz cuadrada. Para a = 8, b = 11 y C = 37 grados, c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 grados), aproximadamente 44,45, por lo que c es aproximadamente 6,6663.
¿Cómo se halla un lado desconocido usando la ley de senos?
Plantea la razón a / sin(A) = b / sin(B) y resuelve para el lado desconocido. Para ángulo A = 40 grados, lado a = 15 y ángulo B = 60 grados, lado b = (15 x sin 60 grados) / sin 40 grados, aproximadamente 20,2094.
¿Puede la ley de cosenos resolver un triángulo a partir de solo tres lados (LLL)?
Sí. Con los tres lados conocidos, la ley de cosenos se reordena para resolver cada ángulo: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). La ley de senos no puede usarse para iniciar un problema LLL, porque requiere al menos un ángulo conocido para plantear su razón, algo que LLL no proporciona directamente.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).