Cómo interpretar los resultados
La tabla siguiente muestra las tres salidas para varias entradas de ejemplo.
| Entrada | ¿Primo? | Factorización | Siguiente primo |
|---|---|---|---|
| 97 | Sí | 97 | 101 |
| 84 | No | 2 x 2 x 3 x 7 | 89 |
| 100 | No | 2 x 2 x 5 x 5 | 101 |
| 2 | Sí (único primo par) | 2 | 3 |
| 1 | No (ni primo ni compuesto) | - | 2 |
- El 1 no es primo: los primos deben tener exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno. Excluir el 1 preserva la unicidad de la factorización en primos.
- La división por tanteo es exacta pero se vuelve lenta con entradas muy grandes; esta calculadora acepta números de hasta 10^12, donde la búsqueda prueba divisores hasta un millón.
- La búsqueda del siguiente primo termina con rapidez garantizada en este rango: por el postulado de Bertrand, siempre existe un primo entre n y 2n.
¿Qué es un número primo?
Un número primo es un número natural mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores positivos: 1 y él mismo. Los primeros primos son 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29. El 2 es el único primo par, dado que cualquier otro número par es divisible entre 2. Los números mayores que 1 que no son primos se llaman compuestos; el 1 no es ni primo ni compuesto, por definición.
El teorema fundamental de la aritmética establece que todo entero mayor que 1 puede escribirse como producto de primos de una única manera, salvo el orden de los factores. Esta factorización en primos única explica por qué los primos se consideran los ladrillos de los enteros: 84 = 2^2 x 3 x 7, y ninguna otra combinación de primos multiplica hasta 84.
Los primos son infinitos — resultado que Euclides demostró hacia el año 300 a. C. — y se vuelven más escasos a medida que los números crecen, aunque sin ningún patrón sencillo. Los primos grandes sustentan la criptografía moderna de clave pública (como RSA), que se apoya en la dificultad práctica de factorizar el producto de dos primos muy grandes.
Cómo usar esta calculadora de números primos
- Introduce un número entero n de al menos 1. Los decimales se redondean hacia abajo al entero más próximo.
- Lee el veredicto de primalidad: una marca de verificación indica que el número es primo; una cruz, que es compuesto (o que es 1, que no es ninguna de las dos cosas).
- Lee la factorización en primos, el producto único de primos igual a tu número. Si la entrada es prima, la factorización es el propio número.
- Lee el siguiente primo, el menor primo estrictamente mayor que tu número.
Cómo se comprueba la primalidad: división por tanteo
Un número n es compuesto si y solo si tiene un divisor mayor que 1 y menor o igual que la raíz cuadrada de n. Esto se debe a que los divisores se emparejan: si n = a x b con a <= b, entonces a <= sqrt(n). Por lo tanto, la división por tanteo solo necesita probar candidatos hasta sqrt(n); tras comprobar el 2, basta con candidatos impares.
Ejemplo resuelto (primo): n = 97. La raíz cuadrada de 97 es unos 9,85, así que basta probar 2, 3, 5, 7 y 9. 97 es impar; 9 + 7 = 16 no es divisible entre 3; no termina en 0 ni en 5; 97 / 7 = 13,857...; y 97 / 9 no da entero. No existe divisor alguno, de modo que 97 es primo.
Ejemplo resuelto (factorización): n = 84. Extrae primos de menor a mayor: 84 / 2 = 42, 42 / 2 = 21, 21 / 3 = 7, y 7 es primo. Por lo tanto 84 = 2 x 2 x 3 x 7 = 2^2 x 3 x 7. El siguiente primo después de 84 es 89 (85 = 5 x 17, 86 = 2 x 43, 87 = 3 x 29, 88 = 2^3 x 11).
Errores frecuentes
- Contar el 1 como número primo: por definición un primo tiene exactamente dos divisores distintos, y el 1 solo tiene uno.
- Suponer que todos los primos son impares: el 2 es primo, y además es el único primo par.
- Probar divisores hasta n en lugar de detenerse en sqrt(n): todo número compuesto tiene un factor menor o igual que su raíz cuadrada.
- Creer que todos los números impares son primos: 9 = 3 x 3, 15 = 3 x 5 y 21 = 3 x 7 son compuestos impares.
- Confundir la factorización en primos con cualquier factorización: 84 = 4 x 21 es una factorización, pero la factorización en primos es 2 x 2 x 3 x 7.
Preguntas frecuentes
¿Cómo compruebo si un número es primo?
Comprueba si algún entero desde 2 hasta la raíz cuadrada del número lo divide exactamente. Si ninguno lo hace, el número es primo. Para 97, la raíz cuadrada es unos 9,85, y ninguno de 2, 3, 5, 7 o 9 divide a 97, así que 97 es primo. El emparejamiento de divisores garantiza que todo número compuesto tiene un factor menor o igual que su raíz cuadrada.
¿Por qué el 1 no es un número primo?
Un primo se define como aquel que tiene exactamente dos divisores positivos distintos, 1 y él mismo; el número 1 solo tiene uno. La definición también protege el teorema fundamental de la aritmética: si el 1 fuera primo, las factorizaciones dejarían de ser únicas (6 = 2 x 3 = 1 x 2 x 3 = 1 x 1 x 2 x 3, y así sucesivamente).
¿Qué es una factorización en primos?
Es la expresión de un número como producto de números primos, que el teorema fundamental de la aritmética garantiza única salvo el orden. Por ejemplo, 84 = 2 x 2 x 3 x 7. Para hallarla, divide repetidamente por el menor primo que entre exacto hasta que el cociente restante sea 1 o primo.
¿Es el 2 un número primo?
Sí: el 2 es primo porque sus únicos divisores son 1 y 2, y además es el único primo par. Cualquier otro número par es divisible entre 2 y, por tanto, compuesto. Por eso las pruebas de primalidad tratan el 2 por separado y después comprueban solo candidatos impares.
¿Cuántos números primos hay?
Infinitos, como demostró Euclides hacia el año 300 a. C.: dada cualquier lista finita de primos, el número que resulta de multiplicarlos todos y sumar 1 no es divisible por ninguno de ellos, así que algún primo falta en la lista. Los primos se van espaciando conforme crecen los números — por el teorema de los números primos, la densidad de primos cerca de n es aproximadamente 1 / ln(n) — pero nunca se acaban.
¿Por qué importan los números primos en criptografía?
Los sistemas de clave pública como RSA se apoyan en una asimetría: multiplicar dos primos grandes es sencillo, pero recuperar los primos a partir de su producto resulta computacionalmente costoso a los tamaños empleados en la práctica (cientos de cifras). Las claves de seguridad se construyen a partir de esos productos, de modo que la generación de primos y las pruebas de primalidad son operaciones criptográficas esenciales.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Prime Number" and "Fundamental Theorem of Arithmetic." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Hardy GH, Wright EM. An Introduction to the Theory of Numbers. Oxford University Press (primes, unique factorization, Bertrand's postulate).
- Euclid. Elements, Book IX, Proposition 20 (infinitude of primes).