Cómo leer la vista previa de la sucesión
El signo de la diferencia común determina si la progresión crece, decrece o permanece constante, tal como se aprecia abajo para un primer término igual a 3.
| Diferencia común (d) | Comportamiento | 5 primeros términos (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (p. ej. d = 4) | Progresión creciente | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Progresión constante: todos los términos valen a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (p. ej. d = −4) | Progresión decreciente | 3, −1, −5, −9, −13 |
- La vista previa muestra hasta los 8 primeros términos; cuando n supera 8, unos puntos suspensivos (…) indican que la sucesión continúa más allá de lo mostrado, aunque el término n-ésimo y la suma se calculan de forma exacta para el n completo que hayas introducido.
- A diferencia de una progresión geométrica, la aritmética no impone ningún límite superior ni inferior a la magnitud de sus términos conforme crece n (salvo si d = 0), y no existe una «suma hasta el infinito» finita: la suma parcial Sₙ crece sin límite a medida que aumenta n (siempre que d ≠ 0).
¿Qué es una progresión aritmética?
Una progresión aritmética es una lista ordenada de números en la que la diferencia entre cada término y el anterior es siempre la misma constante, llamada diferencia común (d). Por ejemplo, 3, 7, 11, 15, 19 es una progresión aritmética de primer término 3 y diferencia común 4, ya que cada término supera en 4 al que le precede.
La diferencia común puede ser positiva (progresión creciente), negativa (decreciente) o nula (constante, con todos los términos iguales al primero). Las progresiones aritméticas modelan cualquier proceso que varía en la misma cantidad fija a cada paso: un plan de ahorro con depósitos idénticos, filas de butacas que añaden siempre el mismo número de asientos o una cuenta atrás que descuenta intervalos regulares.
De una progresión aritmética suelen preguntarse dos cosas: el valor de un término concreto (el término n-ésimo) y la suma de una tanda de términos consecutivos (una suma parcial, también llamada serie aritmética). Esta calculadora obtiene ambas a partir de los mismos tres datos.
Cómo usar esta calculadora de progresiones aritméticas
- Introduce el primer término de la sucesión (a₁), es decir, el valor de partida.
- Introduce la diferencia común (d), la cantidad fija que se suma a cada término para obtener el siguiente. Usa un número negativo si la progresión es decreciente.
- Introduce el número de términos (n) para el que quieres el término n-ésimo y la suma.
- Consulta el término n-ésimo, la suma de los n primeros términos y una vista previa con hasta los 8 primeros términos de la sucesión.
Las fórmulas de la progresión aritmética
El término n-ésimo se obtiene partiendo del primer término y sumando la diferencia común (n − 1) veces, puesto que el propio primer término no requiere ninguna suma: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Ejemplo resuelto con a₁ = 3, d = 4 y n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
La suma de los n primeros términos aprovecha que, al emparejar el primer término con el último, el segundo con el penúltimo y así sucesivamente, cada pareja suma siempre lo mismo (a₁ + aₙ). De ahí sale la fórmula cerrada Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), equivalente a Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Ejemplo resuelto: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
La tradición matemática atribuye esta fórmula de la suma al joven Carl Friedrich Gauss, de quien se cuenta que sumó los enteros del 1 al 100 emparejando 1+100, 2+99 y así sucesivamente: 50 parejas que suman 101 cada una, con un total de 5050. Esa misma lógica de emparejamiento sustenta la fórmula general que se usa aquí.
Errores frecuentes
- Usar n en lugar de (n − 1) en la fórmula del término general: el primer término (n = 1) no requiere ninguna suma de d, sino cero, puesto que aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Confundir la diferencia común con una razón: las progresiones aritméticas suman una cantidad fija a cada paso, mientras que las geométricas multiplican por un factor fijo.
- Creer que la fórmula de la suma exige enumerar todos los términos, cuando la expresión cerrada Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) da el total directamente sin necesidad de ir sumando uno a uno.
- Introducir un número de términos no entero: n debe ser un entero positivo que indique una posición (1.º, 2.º, 3.º…), nunca una cantidad fraccionaria.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla el término n-ésimo de una progresión aritmética?
Con la fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)d, donde a₁ es el primer término, d la diferencia común y n la posición buscada. Para a₁ = 3, d = 4 y n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
¿Cómo se calcula la suma de una progresión aritmética?
Con la fórmula Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), que suma los n primeros términos sin necesidad de añadirlos uno a uno. Para a₁ = 3, d = 4 y n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
¿Qué diferencia hay entre una progresión aritmética y una geométrica?
La aritmética mantiene constante la diferencia entre términos consecutivos (cada término = término anterior + d). La geométrica mantiene constante la razón (cada término = término anterior × r). Las aritméticas crecen linealmente; las geométricas crecen o decrecen exponencialmente cuando la magnitud de la razón no vale 1.
¿Puede la diferencia común ser negativa o cero?
Sí. Una diferencia negativa genera una progresión decreciente (por ejemplo, 10, 7, 4, 1, −2 con d = −3). Una diferencia nula genera una progresión constante en la que todos los términos igualan al primero. Ambas son progresiones aritméticas perfectamente válidas.
¿Cómo se obtiene la diferencia común a partir de dos términos?
Restando cualquier término al que le sigue inmediatamente: d = aₙ₊₁ − aₙ. Si solo conoces dos términos no consecutivos, aₘ y aₙ, aplica d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Referencias
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.