Cómo interpretar los resultados de un logaritmo
Las tres bases estándar responden a preguntas distintas sobre un mismo número. La tabla siguiente las muestra para x = 100.
| Logaritmo | Base | Valor para x = 100 | Uso habitual |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2,71828... | 4,60517 | Cálculo, crecimiento y decaimiento continuos |
| log10 | 10 | 2 | Notación científica, decibelios, pH, órdenes de magnitud |
| log2 | 2 | 6,643856 | Informática, teoría de la información (bits) |
- Los logaritmos quedan indefinidos para el cero y para los números negativos, y la base debe ser positiva y distinta de 1.
- log_b(1) = 0 en cualquier base, porque b^0 = 1; y log_b(b) = 1, porque b^1 = b.
- Un logaritmo es negativo cuando la entrada está entre 0 y 1: por ejemplo, log_10(0,01) = -2.
- La notación varía según el campo: en matemáticas «log» sin base indica a menudo ln, mientras que en ingeniería y en la mayoría de calculadoras significa log10. La norma ISO 80000-2 recomienda las notaciones explícitas ln, lg y lb.
¿Qué es un logaritmo?
El logaritmo de un número x en base b, escrito log_b(x), es el exponente al que hay que elevar b para obtener x: si b^y = x, entonces log_b(x) = y. Por ejemplo, log_10(100) = 2 porque 10^2 = 100, y log_2(8) = 3 porque 2^3 = 8. Los logaritmos son la operación inversa de la exponenciación.
En la práctica dominan tres bases. El logaritmo natural (ln) usa la base e (aproximadamente 2,71828) y es el habitual en cálculo, en modelos de crecimiento y desintegración y en las ciencias. El logaritmo decimal (log10) sustenta la notación científica y escalas de medida como los decibelios o el pH. El logaritmo binario (log2) se emplea en toda la informática, desde el análisis de algoritmos hasta la teoría de la información, donde mide bits.
Los logaritmos solo están definidos para números positivos, y la base debe ser positiva y distinta de 1. No existe ningún número real y para el que b^y sea cero o negativo, y por eso log(0) y los logaritmos de números negativos quedan indefinidos; la base 1 falla porque 1 elevado a cualquier potencia siempre da 1.
Cómo usar esta calculadora de logaritmos
- Introduce el número x cuyo logaritmo quieres calcular. Debe ser positivo.
- Introduce la base b. Debe ser positiva y distinta de 1; las opciones habituales son 10, 2 y e (aproximadamente 2,71828).
- Lee el logaritmo en base b de x, calculado con la fórmula de cambio de base.
- Compáralo con los logaritmos natural, decimal y binario del mismo número, que se muestran junto a él.
La fórmula de cambio de base
Cualquier logaritmo puede calcularse a partir de logaritmos en otra base: log_b(x) = ln(x) / ln(b). Esta identidad de cambio de base es el modo en que las calculadoras evalúan logaritmos en bases arbitrarias usando solo el logaritmo natural.
Ejemplo resuelto: log_2(8). Calcula ln(8) = 2,079442 y ln(2) = 0,693147; su cociente es 2,079442 / 0,693147 = 3. Comprobación: 2^3 = 8. Otro ejemplo: log_10(100) = 2, dado que 10^2 = 100; para esa misma entrada la calculadora informa además ln(100) = 4,60517 y log_2(100) = 6,643856.
Las identidades algebraicas clave se deducen de la definición: el logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos, log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y); el de un cociente es la diferencia; y el de una potencia saca el exponente al frente, log_b(x^k) = k log_b(x). Estas reglas convierten multiplicaciones en sumas, que fue la motivación original de las tablas de logaritmos.
Errores frecuentes
- Tomar el logaritmo de cero o de un número negativo: los logaritmos solo están definidos para entradas positivas.
- Suponer que log(x + y) equivale a log(x) + log(y): la regla de la suma se aplica a productos, no a sumas: log(xy) = log(x) + log(y).
- Confundir a qué base se refiere «log»: muchas calculadoras y lenguajes de programación difieren (en JavaScript, Math.log es el logaritmo natural).
- Escribir log_b(x^k) como (log_b x)^k: la regla de la potencia saca el exponente al frente como multiplicador, no lo aplica al logaritmo.
- Usar la base 1, para la que no existe logaritmo, dado que 1 elevado a cualquier potencia da 1.
Preguntas frecuentes
¿Cuánto vale el logaritmo de 100 en base 10?
log_10(100) = 2, porque 10 elevado a 2 da 100. El logaritmo decimal cuenta factores de diez, así que log_10(1000) = 3 y log_10(0,01) = -2.
¿Cómo calculo un logaritmo en una base que mi calculadora no tiene?
Usa la fórmula de cambio de base: log_b(x) = ln(x) / ln(b), o de forma equivalente log_10(x) / log_10(b). Por ejemplo, log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4,828314 / 1,609438 = 3, y en efecto 5^3 = 125.
¿Qué diferencia hay entre ln y log?
ln denota siempre el logaritmo natural, de base e (aproximadamente 2,71828). «log» es ambiguo: en matemáticas puras suele significar el logaritmo natural, mientras que en ingeniería, en química y en la mayoría de calculadoras de bolsillo significa base 10. La norma ISO 80000-2 recomienda escribir ln para la base e, lg para la base 10 y lb para la base 2 y evitar así la ambigüedad.
¿Por qué no puedo tomar el logaritmo de un número negativo?
Porque ninguna potencia real de una base positiva da un resultado negativo: b^y es positivo para todo y real cuando b > 0. En consecuencia, log_b(x) no tiene valor real para x <= 0. (En análisis complejo sí pueden definirse logaritmos de números negativos, pero son multivaluados y quedan fuera del alcance de las calculadoras de valores reales.)
¿Para qué se usa log2?
El logaritmo binario log_2 mide cuántas duplicaciones hacen falta para alcanzar un número, lo que lo vuelve fundamental en informática: una búsqueda binaria sobre n elementos ordenados requiere unos log_2(n) pasos, y log_2 da el número de bits necesarios para representar n valores distintos. Por ejemplo, log_2(1024) = 10, de modo que 10 bits direccionan 1.024 valores.
¿Qué significa una escala logarítmica?
Una escala logarítmica separa los valores por razones iguales en lugar de por diferencias iguales: cada paso multiplica por un factor constante. Los decibelios, la escala de magnitud de Richter y el pH son logarítmicos: un aumento de 1 unidad de pH supone una reducción de diez veces en la concentración de iones de hidrógeno. Las escalas logarítmicas permiten leer en un solo eje magnitudes que abarcan muchos órdenes de magnitud.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).