Cómo entender la convergencia y la divergencia
Que una serie geométrica converja a una suma finita al añadir más términos depende exclusivamente de la magnitud de la razón, tal como se resume abajo.
| Razón |r| | Comportamiento de los términos | Suma hasta el infinito |
|---|---|---|
| |r| < 1 (p. ej. r = 0,5) | Los términos se encogen hacia 0 | Converge: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Los términos mantienen su magnitud (o alternan de signo si r = −1) | Diverge (sin suma finita, salvo el caso trivial a₁ = 0) |
| |r| > 1 (p. ej. r = 3) | La magnitud de los términos crece sin límite | Diverge (sin suma finita) |
- La vista previa muestra hasta los 8 primeros términos; cuando n supera 8, unos puntos suspensivos (…) señalan que hay más términos, aunque el término n-ésimo y la suma finita se calculan de forma exacta para el n introducido.
- El resultado de la suma infinita solo aparece si |r| < 1; con cualquier otra razón la serie carece de suma finita y la calculadora lo indica en vez de mostrar una cifra engañosa.
- Una razón exactamente igual a 0 no constituye una progresión geométrica estándar (todos los términos tras el primero serían 0), y las razones negativas producen una sucesión que alterna de signo en cada término.
¿Qué es una progresión geométrica?
Una progresión geométrica es una lista ordenada de números en la que cada término, salvo el primero, resulta de multiplicar el anterior por una constante llamada razón (r). Por ejemplo, 2, 6, 18, 54, 162 es una progresión geométrica de primer término 2 y razón 3, porque cada término triplica al que le precede.
Cuando |r| > 1, la magnitud de los términos crece sin límite (crecimiento exponencial); cuando 0 < |r| < 1, los términos se encogen hacia cero (decaimiento exponencial); si r = 1, todos los términos igualan al primero; y si r es negativa, el signo se alterna término a término. Las progresiones geométricas modelan el interés compuesto, la duplicación de poblaciones, la desintegración radiactiva y cualquier proceso en el que una magnitud se escale repetidamente por el mismo factor.
Una serie geométrica es la suma de los términos de una progresión geométrica. A diferencia de una serie aritmética, puede tener suma finita incluso con infinitos términos, siempre que el valor absoluto de la razón sea estrictamente menor que 1: una propiedad que no tiene equivalente en las progresiones aritméticas.
Cómo usar esta calculadora de progresiones geométricas
- Introduce el primer término de la sucesión (a₁), es decir, el valor de partida.
- Introduce la razón (r), el factor fijo por el que se multiplica cada término para obtener el siguiente. Usa un valor entre −1 y 1 (distinto de 0) si quieres ver una suma infinita convergente.
- Introduce el número de términos (n) para el que quieres el término n-ésimo y la suma parcial.
- Consulta el término n-ésimo, la suma de los n primeros términos, la suma hasta el infinito (solo aparece si |r| < 1) y una vista previa con hasta los 8 primeros términos.
Las fórmulas de la progresión geométrica
El término n-ésimo se obtiene multiplicando el primer término por la razón elevada a (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Ejemplo resuelto con a₁ = 2, r = 3 y n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
La suma de los n primeros términos usa la fórmula cerrada Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) cuando r ≠ 1, que se deduce restando a la serie una copia escalada de sí misma para cancelar todos los términos salvo el primero y el último. Si r = 1, todos los términos valen a₁ y la suma se reduce a Sₙ = a₁ × n. Ejemplo resuelto: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Cuando |r| < 1, el término rⁿ tiende a 0 conforme n crece sin límite, de modo que la fórmula de la suma parcial converge a un valor finito: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Por ejemplo, con a₁ = 8 y r = 0,5 resulta S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16: la suma infinita de 8, 4, 2, 1, 0,5… se acerca a 16 sin llegar a superarlo nunca. Si |r| ≥ 1, la suma infinita diverge (no tiene valor finito) y esta calculadora no la muestra.
Errores frecuentes
- Usar n en lugar de (n − 1) como exponente: el primer término (n = 1) vale a₁ × r⁰ = a₁ y no a₁ × r¹, por lo que el exponente es siempre (n − 1).
- Aplicar la fórmula de la suma infinita cuando |r| ≥ 1: en ese caso la serie diverge y no tiene suma finita, ya que a₁ ÷ (1 − r) solo vale si |r| < 1.
- Confundir la razón con la diferencia común: las progresiones geométricas multiplican por r a cada paso, mientras que las aritméticas suman d.
- Olvidar que una razón negativa genera una sucesión alternante (por ejemplo, 2, −6, 18, −54 con a₁ = 2 y r = −3), algo que algunos estudiantes toman por un error cuando en realidad es el comportamiento esperado.
Preguntas frecuentes
¿Cómo se halla el término n-ésimo de una progresión geométrica?
Con la fórmula aₙ = a₁ × r^(n−1), donde a₁ es el primer término, r la razón y n la posición buscada. Para a₁ = 2, r = 3 y n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
¿Cómo se calcula la suma de una serie geométrica?
Con un número finito de términos se usa Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) siempre que r ≠ 1. Para a₁ = 2, r = 3 y n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Para una serie geométrica infinita con |r| < 1 se emplea en cambio S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
¿Cuándo tiene suma una serie geométrica infinita?
Solo converge a una suma finita cuando el valor absoluto de la razón es estrictamente menor que 1 (|r| < 1); en ese caso S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Si |r| ≥ 1, los términos no se encogen hacia cero, de modo que la suma crece sin límite y la serie diverge.
¿Qué diferencia hay entre una progresión geométrica y una aritmética?
La geométrica multiplica por una razón constante (r) para pasar de un término al siguiente, lo que produce crecimiento o decaimiento exponencial. La aritmética suma una diferencia constante (d), con crecimiento o decrecimiento lineal. Una sucesión no puede ser ambas cosas, salvo cuando la razón vale 1 (sucesión constante).
¿Puede la razón ser negativa?
Sí. Una razón negativa produce una sucesión alternante, en la que el signo cambia en cada término. Por ejemplo, a₁ = 2 y r = −3 dan 2, −6, 18, −54, 162, alternando valores positivos y negativos sin dejar de cumplir aₙ = a₁ × r^(n−1).
Referencias
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)