De dónde viene la fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática se deriva de la ecuación general ax^2 + bx + c = 0 (con a distinto de cero) usando una técnica llamada completar el cuadrado. Dividir cada término entre a da x^2 + (b/a)x + c/a = 0, y luego pasar la constante al otro lado da x^2 + (b/a)x = -c/a. Sumar (b/2a)^2 a ambos lados convierte el lado izquierdo en un cuadrado perfecto: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Simplificar el lado derecho sobre un denominador común da (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Sacar la raíz cuadrada de ambos lados (permitiendo tanto la raíz positiva como la negativa) da x + b/2a = más o menos la raíz cuadrada de (b^2 - 4ac) / (2a), y despejar x produce la fórmula conocida: x = (-b más o menos la raíz cuadrada de b^2 - 4ac) / (2a). Cada paso es álgebra reversible, razón por la cual la fórmula funciona para toda ecuación cuadrática con coeficiente principal distinto de cero, no solo para las que factorizan de forma sencilla.
El discriminante: qué te dice antes de resolver
La expresión bajo la raíz cuadrada, b^2 - 4ac, se llama el discriminante, y su signo por sí solo determina qué tipo de raíces tiene la ecuación, sin necesidad de calcular las raíces mismas. Un discriminante positivo significa que la raíz cuadrada es un número real positivo, así que el más o menos produce dos valores reales distintos de x. Un discriminante de exactamente cero significa que el término de la raíz cuadrada desaparece por completo, así que tanto el caso más como el caso menos colapsan en el único valor x = -b / (2a).
Un discriminante negativo significa que la expresión bajo la raíz cuadrada es negativa, lo cual no tiene raíz cuadrada real -- solo una imaginaria, ya que la raíz cuadrada de un número negativo se define como un número real multiplicado por i, donde i es la unidad imaginaria que satisface i^2 = -1. En este caso la fórmula sigue produciendo dos respuestas, pero son un par conjugado complejo de la forma p + qi y p - qi, en lugar de números reales.
| Discriminante (b^2 - 4ac) | Número y tipo de raíces | Qué hace la parábola |
|---|---|---|
| Positivo (> 0) | Dos raíces reales distintas | Cruza el eje x en dos puntos |
| Cero (= 0) | Una raíz real repetida, x = -b / (2a) | Toca el eje x en exactamente un punto (el vértice) |
| Negativo (< 0) | Dos raíces complejas conjugadas, p ± qi | Nunca toca ni cruza el eje x |
Ejemplo resuelto 1: dos raíces reales distintas (D > 0)
Resuelve x^2 - 3x + 2 = 0. Aquí a = 1, b = -3, c = 2. El discriminante es (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, que es positivo, así que se esperan dos raíces reales distintas. Aplicando la fórmula: x = (3 más o menos la raíz cuadrada de 1) / (2 x 1) = (3 más o menos 1) / 2. Esto da x1 = (3 + 1) / 2 = 2 y x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Estas raíces pueden verificarse factorizando la ecuación original: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), que es cero exactamente cuando x = 1 o x = 2, confirmando la respuesta de la fórmula. Una comprobación adicional usa las fórmulas de Vieta: la suma de las raíces debe ser igual a -b/a = 3, y en efecto 2 + 1 = 3; el producto debe ser igual a c/a = 2, y en efecto 2 x 1 = 2.
Ejemplo resuelto 2: una raíz real repetida (D = 0)
Resuelve x^2 - 4x + 4 = 0. Aquí a = 1, b = -4, c = 4. El discriminante es (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, así que se espera una única raíz repetida. Como el discriminante es cero, la fórmula se simplifica directamente a x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Esta ecuación factoriza como (x - 2)^2 = 0, confirmando que x = 2 es la única raíz, contada dos veces (con multiplicidad 2). Geométricamente, la parábola y = x^2 - 4x + 4 apenas toca el eje x en su vértice, (2, 0), en lugar de atravesarlo -- la firma visual de un discriminante nulo.
Ejemplo resuelto 3: dos raíces complejas conjugadas (D < 0)
Resuelve x^2 + 2x + 5 = 0. Aquí a = 1, b = 2, c = 5. El discriminante es 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, que es negativo, así que no existen raíces reales. Aplicando la fórmula: x = (-2 más o menos la raíz cuadrada de -16) / (2 x 1). La raíz cuadrada de -16 es 4i, ya que (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, así que x = (-2 más o menos 4i) / 2 = -1 más o menos 2i.
Las dos raíces son, por tanto, -1 + 2i y -1 - 2i, un par conjugado complejo -- lo que significa que comparten la misma parte real (-1) y tienen partes imaginarias de signo opuesto. La parábola y = x^2 + 2x + 5 se encuentra completamente por encima del eje x (su valor mínimo, en x = -1, es 4), que es la razón gráfica por la que nunca cruza el eje y por tanto no tiene raíces reales.
Preguntas frecuentes
¿Qué es la fórmula cuadrática?
La fórmula cuadrática resuelve cualquier ecuación de la forma ax^2 + bx + c = 0, donde a no es cero, y establece que x = (-b más o menos la raíz cuadrada de b^2 - 4ac), todo dividido entre 2a. Se deriva completando el cuadrado sobre la ecuación cuadrática general y funciona para toda cuadrática, factorice o no en números enteros.
¿Qué indica el discriminante?
El discriminante, b^2 - 4ac, es la expresión bajo la raíz cuadrada en la fórmula cuadrática, y su signo revela el tipo de raíces antes de resolver. Un discriminante positivo significa dos raíces reales distintas, un discriminante de cero significa una raíz real repetida en x = -b/(2a), y un discriminante negativo significa dos raíces complejas conjugadas y ninguna solución real.
¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática con raíces complejas?
Cuando el discriminante b^2 - 4ac es negativo, se toma la raíz cuadrada de su valor absoluto y se le adjunta la unidad imaginaria i. Para x^2 + 2x + 5 = 0, el discriminante es -16, y la raíz cuadrada de -16 es 4i, lo que da raíces x = (-2 más o menos 4i) / 2 = -1 más o menos 2i -- un par conjugado complejo.
¿De dónde viene la fórmula cuadrática?
Viene de completar el cuadrado sobre la ecuación general ax^2 + bx + c = 0. Dividir entre a, aislar la constante y sumar (b/2a)^2 a ambos lados convierte el lado izquierdo en un cuadrado perfecto, (x + b/2a)^2. Sacar la raíz cuadrada de ambos lados y despejar x produce x = (-b más o menos la raíz cuadrada de b^2 - 4ac) / (2a).
¿Puede una ecuación cuadrática tener exactamente una solución?
Sí, cuando el discriminante es igual a cero. En ese caso el más o menos de la fórmula colapsa en un único valor, x = -b / (2a), llamado raíz repetida. Por ejemplo, x^2 - 4x + 4 = 0 tiene discriminante 16 - 16 = 0 y la raíz repetida única x = 2, ya que la ecuación factoriza como (x - 2)^2 = 0.
Referencias
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).