القيمة المستقبلية: ما تنمو إليه المساهمات المنتظمة
مرحلة التراكم في الدفعة السنوية هي الفترة التي تُقدَّم خلالها مساهمات ثابتة في حساب وتنمو بمعدل عائد حتى تاريخ مستقبلي مستهدف، كالتقاعد مثلاً. تُنمذج هذه الأداة دفعة سنوية عادية -- تحدث كل دفعة في نهاية كل فترة، وهو العرف القياسي لمعظم جداول مساهمات التقاعد مثل اقتطاعات الرواتب في حسابات 401(k) أو IRA.
مثال محسوب: 500$ تُدفع شهرياً بعائد سنوي 7% لمدة 20 سنة (240 شهراً) تنمو إلى قيمة مستقبلية قدرها 260,463.33$. وإجمالي المساهمات على تلك الفترة 120,000$ (240 دفعة بقيمة 500$)، أي أن النمو من معدل العائد وحده يمثل 140,463.33$ من الرصيد النهائي.
- القيمة المستقبلية FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r]، حيث PMT = الدفعة الشهرية، r = المعدل السنوي ÷ 12، n = السنوات × 12
- إجمالي المساهمات = PMT × n؛ النمو = FV − إجمالي المساهمات
القيمة الحالية: ما تساويه سلسلة دفعات مستقبلية اليوم
تجيب القيمة الحالية عن سؤال مختلف: بالنظر إلى سلسلة دفعات مستقبلية متساوية -- معاش تقاعدي، أو تسوية منظمة، أو دخل إيجاري -- كم تساوي تلك السلسلة اليوم، بمعدل خصم يعكس القيمة الزمنية للنقود؟ يعكس الخصم أن النقود المتاحة الآن يمكن أن تحقق عائداً، لذا فإن دفعة تصل بعد 20 سنة تساوي اليوم أقل بكثير من دفعة تصل الشهر المقبل.
مثال محسوب: 1,000$ شهرياً لمدة 20 سنة بمعدل خصم 5% لها قيمة حالية قدرها 151,525.31$، مقابل 240,000$ من الدفعات غير المخصومة -- خصم قيمة زمنية قدره 88,474.69$. والصيغة نفسها تحكم رياضيات القروض بالعكس: مُقرض يقدم 151,525$ بفائدة 5% لمدة 20 سنة سيتقاضى تقريباً 1,000$ شهرياً بالضبط.
| معدل الخصم | القيمة الحالية لـ1,000$/شهر على مدى 20 سنة |
|---|---|
| 3% | 180,311$ |
| 5% | 151,525$ |
| 7% | 128,983$ |
الصرف: أي دخل مستوٍ يمكن أن يستدام من مبلغ مقطوع
يحدد حساب الصرف الدفعة الدورية المستوية التي يمكن أن يدعمها أصل ابتدائي ثابت على عدد محدد من السنوات، بحيث يُستنفد الرصيد بالكامل بحلول نهاية الفترة -- عكس حساب التراكم. ويُسمى هذا أحياناً صرفاً بفترة محددة (period-certain)، تمييزاً له عن منتج الدفعة السنوية مدى الحياة، الذي يستمر في الدفع طالما بقي المستفيد على قيد الحياة.
مثال محسوب: أصل قدره 500,000$ بمعدل سنوي 5% على مدى 25 سنة (300 شهر) يدعم صرفاً شهرياً مستوياً قدره 2,922.95$ -- أي صرف سنوي قدره 35,075.40$ -- بإجمالي 876,885.06$ مصروفة على كامل الفترة. والفائض عن الأصل الأصلي البالغ 500,000$ يمثل نمواً استثمارياً مستمراً خلال فترة الصرف، وهو ما يسمح للصرف بتجاوز الأصل مقسوماً ببساطة على عدد الأشهر.
- الصرف الشهري PMT = P × r ÷ [1 − (1 + r)^−n]، حيث P = الأصل، r = المعدل السنوي ÷ 12، n = السنوات × 12
كيف ترتبط الحسابات الثلاثة معاً
القيمة المستقبلية والقيمة الحالية والصرف ثلاث زوايا لرياضيات الدفعة السنوية نفسها، تُطبق في اتجاهات مختلفة: تُسقط القيمة المستقبلية المساهمات إلى الأمام لتصبح مبلغاً مقطوعاً؛ وتخصم القيمة الحالية سلسلة دفعات مستقبلية إلى دولارات اليوم؛ ويحول الصرف مبلغاً مقطوعاً قائماً إلى تدفق دخل مستدام. وتفترض الحسابات الثلاثة جميعها دفعة سنوية عادية (دفعات نهاية الفترة) ومعدلاً ثابتاً طوال الفترة كاملة -- ولا يُنمذج أي منها الضرائب أو الرسوم أو تعديلات التضخم أو التسعير المرتبط بجداول الوفيات الخاص بشركة التأمين لمنتج دفعة سنوية مدى الحياة يُشترى تجارياً.
الأسئلة الشائعة
كم تنمو 500$ شهرياً بفائدة 7% على مدى 20 سنة؟
باستخدام صيغة القيمة المستقبلية للدفعة السنوية العادية، تنمو 500$ شهرياً بعائد سنوي 7% لمدة 20 سنة (240 شهراً) إلى 260,463.33$ -- منها 120,000$ من المساهمات و140,463.33$ من النمو.
ما القيمة الحالية لدفعة شهرية قدرها 1,000$؟
يعتمد ذلك على معدل الخصم والمدة. 1,000$ شهرياً لمدة 20 سنة بمعدل خصم 5% تساوي 151,525.31$ اليوم، مقابل 240,000$ غير مخصومة -- خصم قيمة زمنية قدره 88,474.69$.
كم دخلاً شهرياً يمكن أن يوفره 500,000$؟
بمعدل عائد سنوي مفترض 5% على مدى 25 سنة، يدعم أصل قدره 500,000$ صرفاً شهرياً مستوياً قدره 2,922.95$، يستنفد الأصل بالكامل بحلول نهاية الفترة.
ما الفرق بين الدفعة السنوية العادية ودفعة السنوية المستحقة؟
تفترض الدفعة السنوية العادية حدوث الدفعات في نهاية كل فترة؛ بينما تفترض الدفعة السنوية المستحقة الدفعات في بداية الفترة. ولأن دفعات السنوية المستحقة تتراكب لفترة إضافية واحدة لكل منها، فإنها تنتج قيمة مستقبلية أعلى قليلاً -- وقيمة حالية أعلى قليلاً أيضاً، بمعامل نحو 0.42% بمعدل سنوي 5% -- مقارنة بدفعة سنوية عادية مطابقة لولا ذلك.
هل يُنمذج هذا دفعة سنوية مدى الحياة من شركة تأمين؟
لا. هذه حسابات بفترة محددة تستند إلى معدل عائد ثابت وأصل وفترة زمنية. تتضمن الدفعة السنوية مدى الحياة المُشتراة تجارياً رسوماً خاصة بشركة التأمين وضمانات ورسوم استرداد وتسعيراً مرتبطاً بجداول الوفيات لا تُنمذجها هذه الصيغ.
المراجع
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — annuities overview and investor bulletins. https://www.investor.gov/
- Financial Industry Regulatory Authority (FINRA) — Annuities: how they work and what to consider. https://www.finra.org/
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020 — annuity mathematics.