ما هي الفائدة البسيطة؟
تُحسب الفائدة البسيطة فقط على أساس رأس المال الأصلي، باستخدام الصيغة I = P x r x t، حيث P هو رأس المال، وr هو معدل الفائدة السنوي معبرًا عنه كرقم عشري، وt هو الزمن بالسنوات. ولأن الفائدة لا تُضاف مطلقًا إلى المبلغ الذي يولّد فائدة أخرى، فإن الرصيد بموجب الفائدة البسيطة ينمو بنفس المبلغ بالدولار تمامًا في كل فترة. على سبيل المثال، تُدرّ 10,000$ مستثمرة بمعدل فائدة بسيطة سنوية 5% مبلغ 500$ في السنة الأولى، و500$ في السنة الثانية، و500$ في كل سنة لاحقة، ليصل الرصيد الإجمالي إلى P + (P x r x t).
تُستخدم الفائدة البسيطة في بعض سياقات الإقراض قصيرة الأجل، مثل بعض قروض السيارات والسندات الإذنية قصيرة الأجل وبعض حسابات أذون الخزانة، لأنها سهلة الحساب والتوقع. وسمتها المميزة هي النمو الخطي: فرسم بياني للرصيد عبر الزمن تحت الفائدة البسيطة هو خط مستقيم، لأن كل فترة تضيف مبلغ فائدة متطابقًا وثابتًا بصرف النظر عن المدة التي بقي فيها الاستثمار.
ما هي الفائدة المركبة؟
تُحسب الفائدة المركبة على رأس المال الأصلي وعلى أي فائدة أُضيفت بالفعل إلى الرصيد، باستخدام الصيغة A = P(1 + r/n)^(nt)، حيث A هو المبلغ النهائي، وP هو رأس المال، وr هو معدل الفائدة السنوي كرقم عشري، وn هو عدد مرات احتساب الفائدة في السنة، وt هو الزمن بالسنوات. ولأن فائدة كل فترة تصبح جزءًا من أساس حساب الفترة التالية، ينمو الرصيد بمعدل متسارع بدلاً من معدل ثابت.
تؤثر وتيرة احتساب الفائدة، n، تأثيرًا جوهريًا في النتائج: n = 1 للاحتساب السنوي، وn = 12 للاحتساب الشهري، وn = 365 للاحتساب اليومي، وهكذا. ومع اقتراب n من الاحتساب المستمر، يقترب معامل النمو من الثابت الرياضي e (عدد أويلر) مرفوعًا للقوة rt، رغم أن الفرق العملي بين الاحتساب الشهري واليومي ضئيل بالنسبة لمعظم منتجات الادخار والقروض الاستهلاكية.
مثال محلول: 10,000$ بمعدل 5% على مدى 10 و20 و30 عامًا
يقارن الجدول أدناه نمو رأس مال قدره 10,000$ بمعدل سنوي 5% تحت الفائدة البسيطة والفائدة المركبة باحتساب شهري (n = 12)، محسوبة باستخدام A = P(1 + r/n)^(nt) لعمود الفائدة المركبة وI = P x r x t لعمود الفائدة البسيطة. تتسع الفجوة بين الطريقتين بشكل كبير مع طول الأفق الزمني، مما يوضح لماذا تكون وتيرة الاحتساب والأفق الزمني أكثر أهمية من معدل الفائدة المعلن وحده في النتائج طويلة الأجل.
| الأفق الزمني | رصيد الفائدة البسيطة | رصيد الفائدة المركبة (شهريًا) | المبلغ الإضافي من الاحتساب المركب |
|---|---|---|---|
| 10 سنوات | $15,000.00 | $16,470.09 | $1,470.09 |
| 20 سنة | $20,000.00 | $27,126.40 | $7,126.40 |
| 30 سنة | $25,000.00 | $44,677.44 | $19,677.44 |
قاعدة 72: اختصار حسابي ذهني سريع
«قاعدة 72» هي تقدير تقريبي يُستخدم لمعرفة عدد السنوات اللازمة لمضاعفة مبلغ ما عند معدل فائدة مركبة سنوي معين، ويُحسب بقسمة 72 على معدل الفائدة معبرًا عنه كرقم صحيح. فمثلاً، عند معدل سنوي 6%، تقدّر قاعدة 72 زمن المضاعفة بـ 72 / 6 = 12 سنة؛ وعند 9%، يكون التقدير 72 / 9 = 8 سنوات؛ وعند 12%، يكون التقدير 72 / 12 = 6 سنوات.
تكون قاعدة 72 أكثر دقة عند معدلات فائدة مركبة سنوية تتراوح تقريبًا بين 6% و10%، حيث يكون خطأ التقريب في أدنى مستوياته؛ أما عند المعدلات المنخفضة جدًا أو المرتفعة جدًا، فيتباعد التقدير أكثر عن زمن المضاعفة الدقيق المحسوب من صيغة الفائدة المركبة الكاملة. وبتطبيقها على مثال الـ5% أعلاه، ينتج الاحتساب الشهري معدلًا فعليًا سنويًا يبلغ نحو 5.12%، مما يعطي زمن مضاعفة تقديريًا قريبًا من 72 / 5.12، أي نحو 14.1 سنة -- وهو ما يتسق مع مضاعفة الرصيد تقريبًا بين علامتي السنة العاشرة والعشرين في الجدول المحلول.
لماذا تهم وتيرة احتساب الفائدة
بالنسبة لنفس المعدل السنوي المعلن، يُنتج الاحتساب الأكثر تكرارًا معدلًا فعليًا سنويًا أعلى، وبالتالي رصيدًا نهائيًا أكبر. فمعدل 5% محتسب شهريًا (n = 12) ينتج معدلًا فعليًا سنويًا يبلغ نحو 5.12%، وهو أعلى من المعدل الفعلي 5.00% تحت الاحتساب السنوي (n = 1)، لأن الفائدة تُضاف إلى الرصيد -- وتبدأ بتوليد فائدتها الخاصة -- اثنتي عشرة مرة في السنة بدلاً من مرة واحدة.
وهذا التمييز هو السبب في أن الإفصاحات المالية غالبًا ما تفصل بين معدل الفائدة الاسمي (المعلن) وبين العائد المئوي السنوي (APY) أو المعدل الفعلي السنوي، الذي يأخذ في الحسبان وتيرة الاحتساب. فقد ينتج عن منتجين ادخاريين يعلنان نفس المعدل الاسمي عائدان فعليان مختلفان إذا كان أحدهما يُحتسب يوميًا والآخر سنويًا، وهذا هو سبب ضرورة مقارنة المعدلات الفعلية السنوية -- وليس المعدلات الاسمية فقط -- لإجراء مقارنة دقيقة بين المنتجات المالية.
الآثار العملية للادخار والاقتراض
تعمل الفائدة المركبة لصالح المدخرين والمستثمرين: فالأرصدة التي تُترك دون مساس على آفاق زمنية طويلة تستفيد بشكل غير متناسب من النمو المتسارع الموضح في المثال المحلول، وهذا هو سبب التأكيد على البدء بالادخار مبكرًا أكثر من التأكيد على حجم أي مساهمة فردية. وتعتمد حسابات التقاعد، على وجه الخصوص، على عقود من الاحتساب المركب لتحويل مساهمات منتظمة معتدلة إلى أرصدة أكبر بكثير عند الحاجة إليها.
وتعمل نفس المعادلات الرياضية ضد المقترضين: فأرصدة بطاقات الائتمان، التي عادةً ما تُحتسب يوميًا أو شهريًا بمعدلات فائدة سنوية مرتفعة، يمكن أن تنمو بسرعة إذا اقتصر السداد على الحد الأدنى فقط، لأن الفائدة غير المسددة تُضاف إلى الرصيد وتبدأ هي نفسها بتوليد فائدة. وفهم أن صيغ الفائدة المركبة تنطبق بالتساوي على نمو المدخرات ونمو الديون أمر أساسي لتقييم كل من المنتجات الاستثمارية وتكاليف الاقتراض.
الأسئلة الشائعة
ما الفرق بين الفائدة البسيطة والفائدة المركبة؟
تُحسب الفائدة البسيطة فقط على رأس المال الأصلي وتزيد الرصيد بنفس المبلغ الثابت بالدولار في كل فترة، باستخدام الصيغة I = P x r x t. أما الفائدة المركبة فتُحسب على رأس المال بالإضافة إلى أي فائدة تم كسبها بالفعل، باستخدام الصيغة A = P(1 + r/n)^(nt)، لذا ينمو الرصيد بمعدل متسارع. وعلى آفاق زمنية طويلة يصبح الفرق كبيرًا: فمبلغ 10,000$ بمعدل 5% على مدى 30 عامًا ينمو إلى 25,000$ تحت الفائدة البسيطة مقابل 44,677.44$ تحت الفائدة المركبة باحتساب شهري.
ماذا تعني وتيرة الاحتساب (n) في صيغة الفائدة المركبة؟
في الصيغة A = P(1 + r/n)^(nt)، يمثل n عدد مرات إضافة الفائدة إلى الرصيد في السنة. القيم الشائعة هي n = 1 للاحتساب السنوي، وn = 4 للاحتساب الربع سنوي، وn = 12 للاحتساب الشهري، وn = 365 للاحتساب اليومي. تنتج القيم الأعلى لـn رصيدًا نهائيًا أكبر لنفس المعدل السنوي الاسمي، لأن الفائدة تُضاف إلى رأس المال -- وتبدأ بتوليد فائدتها الخاصة -- بشكل أكثر تكرارًا.
كيف تعمل قاعدة 72؟
تقدّر قاعدة 72 عدد السنوات اللازمة لمضاعفة استثمار ما عند معدل فائدة مركبة سنوي معين، بقسمة 72 على معدل الفائدة. فمثلاً، عند نمو سنوي 8%، فإن 72 / 8 = 9 سنوات لمضاعفة المبلغ تقريبًا. ويكون التقريب أكثر دقة للمعدلات بين 6% و10% تقريبًا؛ وخارج هذا النطاق يتباعد التقدير أكثر عن القيمة الدقيقة المحسوبة بصيغة الفائدة المركبة الكاملة.
هل الفائدة المركبة أفضل دائمًا للمدخرين؟
تنتج الفائدة المركبة عمومًا عوائد أعلى من الفائدة البسيطة للمدخرين بمرور الوقت، لأن الفائدة تولّد فائدة إضافية مع نمو الرصيد. لكن نفس آلية الاحتساب المركب تزيد أيضًا تكلفة الديون: فالأرصدة الدوارة مثل بطاقات الائتمان التي تُحتسب مركبًا ولا تُسدد بالكامل يمكن أن تنمو بشكل كبير بسبب إضافة الفائدة غير المسددة إلى رأس المال. ويعتمد ما إذا كان الاحتساب المركب يفيد أو يضر بشخص معين على ما إذا كان يكسب الفائدة أو مدينًا بها.
هل تُحدث وتيرة الاحتساب الأعلى فرقًا عمليًا كبيرًا؟
عادةً ما يكون الفرق بين الاحتساب الشهري واليومي ضئيلًا من حيث القيمة بالدولار بالنسبة لمعظم حسابات الادخار والقروض الاستهلاكية، بينما يكون الفرق بين الاحتساب السنوي والشهري أكثر وضوحًا. فبالنسبة لمعدل اسمي سنوي 5%، ينتج الاحتساب الشهري معدلًا فعليًا سنويًا يبلغ نحو 5.12%، مقارنة بـ5.00% بالضبط للاحتساب السنوي -- وهو فرق متواضع لكنه ملموس ويصبح أكثر أهمية مع نمو الأرصدة والآفاق الزمنية.
المراجع
- U.S. Securities and Exchange Commission, Office of Investor Education and Advocacy. "Compound Interest Calculator." Investor.gov.
- FINRA Investor Education Foundation. "The Rule of 72." FINRA.org.
- Ross SA, Westerfield RW, Jaffe J, Jordan BD. Corporate Finance. 12th ed. McGraw-Hill Education, 2019.
- Fisher I. The Theory of Interest. Macmillan, 1930.