如何理解数列预览
公差的正负决定了数列是递增、递减，还是保持不变，下表以首项为 3 的情形加以说明。
| 公差（d） | 数列表现 | 前 5 项（a₁ = 3） |
|---|---|---|
| d > 0（例如 d = 4） | 递增数列 | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | 常数数列——每一项都等于 a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0（例如 d = −4） | 递减数列 | 3, −1, −5, −9, −13 |
- 数列预览最多显示前 8 项；当 n 大于 8 时，省略号（…）表示数列在展示范围之外仍在继续，但第 n 项和前 n 项和依然是按你输入的完整 n 值精确计算的。
- 与等比数列不同，等差数列的项在 n 增大时没有上下界限制（除非 d = 0），也不存在有限的「无穷项之和」——只要 d ≠ 0，部分和 Sₙ 会随 n 增大而无限增长。
什么是等差数列？
等差数列（也叫算术数列）是一列有序的数，其中每一项与它前一项之差始终是同一个常数，称为公差（d）。例如，3、7、11、15、19 是首项为 3、公差为 4 的等差数列，因为每一项都比前一项大 4。
公差可以是正数（递增数列）、负数（递减数列），也可以是零（常数数列，即每一项都等于首项）。等差数列可以用来描述每一步都按同样固定数额变化的过程，比如每期存入相同金额的储蓄计划、每排座位数固定增加的座位排布，或按固定间隔递减的倒计时。
关于等差数列，人们常问的是两个相关问题：某一项的具体值（第 n 项），以及连续若干项的和（部分和，有时也叫等差级数）。本计算器根据同样的三个输入，把这两者都计算出来。
如何使用本等差数列计算器
- 输入数列的首项（a₁）——起始值。
- 输入公差（d）——从一项得到下一项所加上的固定数额。若数列是递减的，输入负数。
- 输入项数（n），即你想求第 n 项和前 n 项和所对应的项数。
- 查看第 n 项、前 n 项和，以及最多展示数列前 8 项的预览。
等差数列公式
等差数列的第 n 项，是从首项出发、累加 (n − 1) 次公差得到的，因为首项本身不需要加任何一次公差：aₙ = a₁ + (n − 1)d。举例说明，取 a₁ = 3、d = 4、n = 10：a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39。
前 n 项和的求法，利用的是首项与末项配对、第二项与倒数第二项配对……每一对之和都相同（都等于 a₁ + aₙ）这一事实。由此得到闭式求和公式 Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)，等价地也可写成 Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)。举例说明：S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210。
数学界流传着一个说法，认为这一求和公式与少年高斯有关：据说他把 1 到 100 的整数两两配对——1+100、2+99……得到 50 对，每对之和都是 101，总和为 5050；这里所用的通用公式，正是基于同样的配对思路。
常见错误
- 在第 n 项公式中把 (n − 1) 误写成 n——首项（n = 1）需要加零次公差，而不是一次，因为 aₙ = a₁ + (n − 1)d。
- 把公差和公比混淆——等差数列每一步都是加上一个固定数额，而等比数列是乘以一个固定的比值。
- 以为求和公式需要把每一项都列出来——闭式公式 Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) 可以直接算出总和，不需要逐项相加。
- 输入非整数的项数——n 必须是表示项的位置（第 1 项、第 2 项、第 3 项……）的正整数，不能是小数。
常见问题
如何求等差数列的第 n 项？
使用公式 aₙ = a₁ + (n − 1)d，其中 a₁ 是首项，d 是公差，n 是你要求的项数。以 a₁ = 3、d = 4、n = 10 为例：a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39。
如何求等差数列的和？
使用公式 Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)，可以直接求出前 n 项的和，而不需要逐项相加。以 a₁ = 3、d = 4、n = 10 为例：S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210。
等差数列和等比数列有什么区别？
等差数列相邻两项之差是常数（每一项 = 前一项 + d）；等比数列相邻两项之比是常数（每一项 = 前一项 × r）。等差数列按线性方式增长；当比值的绝对值不为 1 时，等比数列则按指数方式增长（或缩小）。
公差可以是负数或零吗？
可以。公差为负会得到递减数列（例如 10、7、4、1、−2，公差 d = −3）。公差为零会得到常数数列，即每一项都等于首项。这两种情形都是合法的等差数列。
已知两项，如何求公差？
用相邻的后一项减去前一项：d = aₙ₊₁ − aₙ。如果你只知道两个不相邻的项 aₘ 和 aₙ，可以用 d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m) 求出公差。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.