如何理解模与辐角
模和辐角共同以极坐标形式描述复数在复平面中的位置，是对矩形式 a + bi 的补充说明。
| 量 | 含义 | 公式 |
|---|---|---|
| 模 |z| | 从原点到点 (a, b) 的距离——该复数的大小 | √(a² + b²) |
| 辐角 arg(z) | 从正实轴到点 (a, b) 的夹角（此处以度为单位） | atan2(b, a) |
| 共轭 z̄ | a + bi 关于实轴的镜像 | a − bi |
- 辐角是用双参数反正切函数（atan2）计算得到的，无论实部和虚部符号如何组合，它都能把角度正确定位到相应的象限，这一点是普通的 arctan(b/a) 做不到的。
- 除以零（0 + 0i）在数学上没有定义；此时本计算器不会给出结果，而不是返回一个任意的值。
- 结果的实部和虚部四舍五入到小数点后 6 位，辐角（以度为单位）四舍五入到小数点后 4 位。
什么是复数？
复数的形式为 a + bi，其中 a 是实部，b 是虚部，i 是满足 i² = −1 的虚数单位。复数把实数轴扩展为一个二维平面（复平面），实部对应横轴，虚部对应纵轴。求解像 x² + 1 = 0 这样没有实数根的多项式方程时，复数会自然而然地出现。
每个复数 a + bi 还有两个标准的附加描述量：模 |z| = √(a² + b²)，即复平面上点 (a, b) 到原点的距离；辐角 arg(z) = atan2(b, a)，即从原点到点 (a, b) 的连线与正实轴之间的夹角。模与辐角合在一起，构成复数的极坐标形式，是矩形式 a + bi 之外的另一种表示方式，在做乘法、除法和乘方运算时通常更方便。
复数的应用远远超出纯数学范畴：电气工程师用它表示交流电的阻抗和相位，控制理论通过复平面上极点的位置分析系统稳定性，信号处理则依赖复指数进行傅里叶变换。
如何使用本复数计算器
- 输入第一个复数 a + bi 的实部（a）和虚部（b）。
- 选择运算方式：加法、减法、乘法或除法。
- 输入第二个复数 c + di 的实部（c）和虚部（d）。
- 查看以 a + bi 形式给出的结果，以及它的模（大小）和辐角（以度为单位）。当第二个数为 0 + 0i 时，除法没有定义。
复数运算背后的公式
加法和减法把实部与实部相加减、虚部与虚部相加减，就像普通代数中合并同类项一样：(a + bi) ± (c + di) = (a ± c) + (b ± d)i。
乘法按二项式展开，再利用 i² = −1 化简：(a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi² = (ac − bd) + (ad + bc)i。以默认值 a=3、b=2、c=1、d=−4 为例：(3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = (3 + 8) + (−12 + 2)i = 11 − 10i。
除法通过把分子、分母同时乘以分母的共轭复数（c − di），来消去分母中的虚部：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)。当 c² + d² = 0，即除数为 0 + 0i 时，该式没有定义。
结果的模为 |z| = √(x² + y²)，其中 x、y 分别是结果的实部和虚部；辐角为 arg(z) = atan2(y, x)，并换算成角度。对于 11 − 10i，模为 √(11² + 10²) = √221 ≈ 14.866，辐角为 atan2(−10, 11) ≈ −42.274°。
常见错误
- 做乘法时忘记 i² = −1——正是这一步把 i²bd 项变成了实数（而非虚数）贡献 −bd。
- 直接相除而不是先乘以分母的共轭复数——直接相除会在分母中留下虚数项，这不是有效的最终形式。
- 把模（一个始终 ≥ 0 的大小量）与实部混淆——模需要同时用到实部和虚部，公式为 √(a² + b²)。
- 把辐角简单地当作 arctan(b/a) 来算——在第二、第三象限（a 为负）时会得到错误的角度；必须使用 atan2(b, a) 才能得到正确的象限。
- 把两组输入分别属于哪个复数搞混——计算器把 (a, b) 视为第一个数、(c, d) 视为第二个数，减法和除法会按这个顺序进行运算，而这两种运算都不满足交换律。
常见问题
两个复数怎么相乘？
像展开二项式一样展开乘积，并把 i² 替换为 −1：(a + bi)(c + di) = (ac − bd) + (ad + bc)i。例如 (3 + 2i)(1 − 4i) = (3×1 − 2×(−4)) + (3×(−4) + 2×1)i = 11 − 10i。乘积的实部是 ac − bd，虚部是 ad + bc。
复数怎么相除？
把分子、分母都乘以分母的共轭复数，从而消去分母中的 i：(a + bi) ÷ (c + di) = [(ac + bd) + (bc − ad)i] ÷ (c² + d²)。这是因为 (c + di)(c − di) = c² + d² 是一个实数。如果分母为 0 + 0i，除法没有定义。
复数的模是什么？
模记作 |z|，是复平面中代表该复数的点到原点的距离，计算方法为 |a + bi| = √(a² + b²)。它把实数的绝对值概念推广到了复数上，且始终是一个非负实数。
i 的平方是多少？
根据定义，i² = −1。虚数单位 i 之所以这样定义，正是为了让它的平方是负一，这也使得复数能够表示像 x² + 1 = 0 这类没有实数解的方程的解。
复数的辐角是什么？
辐角 arg(z) 是正实轴与从原点到代表复数 a + bi 的点 (a, b) 的连线之间的夹角，按逆时针方向度量。它通过 atan2(b, a) 计算，以确保得到正确的象限，本计算器以角度形式给出结果。
为什么除法要用到共轭复数？
把复数 c + di 乘以它的共轭复数 c − di，会得到一个纯实数结果 c² + d²，因为交叉项相互抵消：(c + di)(c − di) = c² − (di)² = c² + d²。因此，把除法的分子和分母都乘以分母的共轭复数，就能消去分母中的虚部，得到标准 a + bi 形式的答案。
参考文献
- Churchill RV, Brown JW. Complex Variables and Applications. 9th ed. McGraw-Hill, 2013.
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.9 Calculus of a Complex Variable. dlmf.nist.gov.
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Appendix on complex numbers.)