如何理解不等号翻转规则
系数 a 的正负决定了在求解 x 时不等号方向是保持不变还是翻转，如下表所示。
| a 的符号 | 对不等号的影响 | 示例 |
|---|---|---|
| a > 0（正数） | 不等号方向不变 | 2x < 8 → x < 4 |
| a < 0（负数） | 不等号方向翻转（< 变为 >，≤ 变为 ≥，以此类推） | −2x < 8 → x > −4 |
| a = 0 | 化简为一个只涉及常数的真假判断 | 0x + 3 < 11 → 恒成立（全体实数） |
- 当 a = 0 时，结果要么是「全体实数（恒成立）」，要么是「无解（恒不成立）」，因为此时不等式已经完全不依赖于 x。
- 所显示的边界值是一次表达式 ax + b 恰好等于 c 时的取值；这个边界本身是否包含在解集之内，取决于不等式是严格的（<、>）还是可以取等的（≤、≥）。
- 本计算器只求解一元一次不等式。复合不等式（例如 3 < 2x + 1 < 9）以及含 x² 或更高次幂的不等式，需要用不同的方法求解。
什么是一次不等式？
一次不等式是一种数学表述，用不等号——小于（<）、小于或等于（≤）、大于（>）、大于或等于（≥）——把一个一次表达式（变量只以一次方出现，带有系数和常数）与另一个值进行比较。与通常只有一个解的一次方程不同，一次不等式通常有无穷多个解——所有能使不等式成立的 x 值。
本计算器求解形如 ax + b [不等号] c 的不等式，其中 a 是 x 的系数，b 是左边所加的常数，c 是右边用来比较的值。求解就是把 x 单独留在一边，得到类似 x < 4 这样的结果，意味着所有小于 4 的值都满足原不等式。
求解不等式与求解方程最重要的一条区别规则是：不等式两边同时乘以或除以一个负数，会使不等号方向翻转。本计算器会根据系数 a 的正负自动应用这条规则。
如何使用本不等式计算器
- 输入 x 的系数（a）——不等式左边与 x 相乘的数。
- 输入常数（b）——左边加在 ax 上的数。如果没有常数项，输入 0。
- 选择不等号：<、≤、> 或 ≥。
- 输入右边的值（c）。查看解，形式为 x [不等号] 边界值；如果 a 为负数，不等号会自动翻转。
求解一次不等式的方法
求解 ax + b [不等号] c 中的 x，所用的代数步骤与解方程相同：两边同时减去 b，再两边同时除以 a。举例说明：求解 2x + 3 < 11。两边减去 3：2x < 8。两边除以 2（正数，不等号方向不变）：x < 4。
当系数 a 为负数时，两边同时除以它会使不等号翻转。举例说明：求解 −2x + 3 < 11。两边减去 3：−2x < 8。两边除以 −2 并翻转不等号：x > −4（而不是 x < −4）。这一翻转规则是手算求解不等式时最常见的出错之处。
当 a = 0 时会出现一种特殊情况：不等式化简为一个只涉及常数的比较，例如 3 < 11，这要么恒成立（此时解为「全体实数」），要么恒不成立（此时「无解」），与 x 的取值无关。
常见错误
- 两边同时乘以或除以负数时忘记翻转不等号——这是求解不等式时最常见的错误。
- 把 ≤ 和 <（或 ≥ 和 >）当作可以互换——这一区别关系到边界值本身是否属于解集。
- 不检查系数的正负就套用解方程的思路——系数为负的不等式与系数为正的不等式解法并不相同。
- 以为不等式总会有一个具体的数值边界——当 x 的系数为 0 时，结果会归结为「恒成立」或「恒不成立」，根本没有边界值。
常见问题
如何求解一次不等式？
用求解方程同样的步骤把变量单独留在一边——先加减以移动常数，再乘除以消去系数——但每当两边同时乘以或除以一个负数时，都要翻转不等号方向。以 2x + 3 < 11 为例：两边减 3 得到 2x < 8，再除以 2 得到 x < 4。
为什么乘以负数时不等号要翻转？
乘以或除以一个负数会颠倒数轴上数值的先后顺序——例如 2 < 5，但两边同时乘以 −1 后得到 −2 和 −5，而 −2 实际上是大于 −5 的。为了保持表述的正确性，不等号必须翻转：−2 > −5。
不等式「无解」是什么意思？
当 x 的系数为零，且化简后的常数比较不成立时，就会出现「无解」——例如 0x + 3 > 11 化简为 3 > 11，这在任何情况下都不成立，与 x 无关。此时没有任何 x 的取值能满足原不等式。
< 和 ≤ 有什么区别？
<（严格小于）不把边界值本身算作解，而 ≤（小于或等于）把边界值算作解。对于 x < 4，4 不是解；对于 x ≤ 4，4 是解。在数轴上，这一区别用空心圆圈（<、>）与实心圆圈（≤、≥）在边界处加以区分表示。
如何验证不等式的解？
把解集范围内的某个测试值代回原不等式，确认它使不等式成立；也可以再测试一个范围之外的值，确认它不成立。以 2x + 3 < 11 的解 x < 4 为例，取 x = 0 测试：2(0) + 3 = 3 < 11 ✓；取范围之外的 x = 5 测试：2(5) + 3 = 13，并不小于 11，这就确认了边界的正确性。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Inequalities. dlmf.nist.gov.
- Sullivan M. Algebra and Trigonometry. 11th ed. Pearson, 2019. (Linear inequalities in one variable.)
- Lial ML, Hornsby J, Schneider DI, Daniels CJ. College Algebra. 13th ed. Pearson, 2017.