如何理解收敛与发散
随着项数不断增加，等比级数是否会收敛到一个有限的和，完全取决于公比的绝对值，具体如下表所示。
| 公比 |r| | 各项的变化趋势 | 无穷项之和 |
|---|---|---|
| |r| < 1（例如 r = 0.5） | 各项不断趋近于 0 | 收敛：S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | 各项绝对值保持不变（若 r = −1 则正负号交替） | 发散（不存在有限的和，a₁ = 0 的平凡情形除外） |
| |r| > 1（例如 r = 3） | 各项绝对值无限增大 | 发散（不存在有限的和） |
- 数列预览最多显示前 8 项；当 n 大于 8 时，省略号（…）表示数列还有更多项，但第 n 项和有限项和仍是按你输入的完整 n 值精确计算的。
- 无穷项之和只在 |r| < 1 时显示；对于其他所有公比，该级数都不存在有限的和，计算器会明确说明这一点，而不是给出一个具有误导性的数字。
- 公比恰好为 0 并不是标准的等比数列（首项之后的每一项都会是 0），而公比为负会让数列每一项的正负号交替出现。
什么是等比数列？
等比数列（也叫几何数列）是一列有序的数，从第二项开始，每一项都是把前一项乘以一个常数——公比（r）——得到的。例如，2、6、18、54、162 是首项为 2、公比为 3 的等比数列，因为每一项都是前一项的 3 倍。
当 |r| > 1 时，各项的绝对值会无限增大（指数增长）；当 0 < |r| < 1 时，各项会不断缩小并趋近于零（指数衰减）；当 r = 1 时，每一项都等于首项；当 r 为负数时，各项的正负号会交替出现。等比数列可以用来描述复利、种群翻倍、放射性衰变，以及任何数量被反复乘以同一系数的过程。
等比级数是等比数列各项之和。与等差级数不同，只要公比的绝对值严格小于 1，等比级数即使延伸到无穷多项，也可以有一个有限的和——这是等差数列所没有的特性。
如何使用本等比数列计算器
- 输入数列的首项（a₁）——起始值。
- 输入公比（r）——从一项得到下一项所乘以的固定系数。若要看到收敛的无穷项之和，请输入一个介于 −1 和 1 之间（不含 0）的值。
- 输入项数（n），即你想求第 n 项和前 n 项和所对应的项数。
- 查看第 n 项、前 n 项和、无穷项之和（仅在 |r| < 1 时显示），以及最多展示前 8 项的数列预览。
等比数列公式
第 n 项的求法，是把首项乘以公比的 (n − 1) 次幂：aₙ = a₁ × r^(n−1)。举例说明，取 a₁ = 2、r = 3、n = 5：a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。
前 n 项和使用闭式公式 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)（r ≠ 1 时成立），其推导方法是把整个级数乘以公比后再与原级数相减，从而抵消除首项和末项之外的所有项。当 r = 1 时，每一项都等于 a₁，此时和就是 Sₙ = a₁ × n。举例说明：S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242。
当 |r| < 1 时，随着 n 无限增大，rⁿ 会不断趋近于 0，因此部分和公式会收敛到一个有限的极限值：S∞ = a₁ ÷ (1 − r)。例如取 a₁ = 8、r = 0.5，则 S∞ = 8 ÷ (1 − 0.5) = 16——数列 8、4、2、1、0.5……的无穷项之和不断逼近但永远不会超过 16。当 |r| ≥ 1 时，无穷项之和发散（不存在有限值），此时本计算器不会给出该结果。
常见错误
- 把指数误写成 n 而不是 (n − 1)——首项（n = 1）是 a₁ × r⁰ = a₁，而不是 a₁ × r¹，所以指数始终是 (n − 1)。
- 在 |r| ≥ 1 时套用无穷项之和公式——此时级数是发散的，不存在有限的和；公式 a₁ ÷ (1 − r) 只在 |r| < 1 时成立。
- 把公比和公差混淆——等比数列每一步是乘以 r，等差数列每一步是加上 d。
- 忘记公比为负会产生正负交替的数列（例如 a₁ = 2、r = −3 时得到 2、−6、18、−54），有些学习者会误以为这是错误，其实是正常现象。
常见问题
如何求等比数列的第 n 项？
使用公式 aₙ = a₁ × r^(n−1)，其中 a₁ 是首项，r 是公比，n 是项数。以 a₁ = 2、r = 3、n = 5 为例：a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162。
如何求等比级数的和？
对于有限项数，当 r ≠ 1 时使用 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)。以 a₁ = 2、r = 3、n = 5 为例：S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242。对于 |r| < 1 的无穷等比级数，则改用 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)。
无穷等比级数什么时候存在和？
只有当公比的绝对值严格小于 1（|r| < 1）时，无穷等比级数才会收敛到一个有限的和，此时 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)。如果 |r| ≥ 1，各项不会趋近于零，和会无限增大，级数因而发散。
等比数列和等差数列有什么区别？
等比数列每得到下一项都是乘以一个固定的比值（r），呈现指数增长或衰减。等差数列每得到下一项都是加上一个固定的差值（d），呈现线性增长或衰减。一般情况下一个数列不会同时是这两种类型，除非公比恰好为 1（此时是常数数列）。
公比可以是负数吗？
可以。公比为负会产生正负交替的数列，每一项的符号都会翻转。例如，a₁ = 2、r = −3 会得到 2、−6、18、−54、162，在正负值之间交替，但仍然遵循 aₙ = a₁ × r^(n−1)。
参考文献
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)