Pisagor teoremi ne söyler
Tam olarak bir tane 90 derecelik açı içeren her dik üçgende, hipotenüsün -- yani dik açının karşısındaki kenarın -- uzunluğunun karesi, dik kenar adı verilen diğer iki kenarın uzunluklarının karelerinin toplamına eşittir. Formül olarak: a^2 + b^2 = c^2; burada a ile b dik kenarlar, c ise hipotenüstür. Bağıntı adını antik Yunan matematikçisi Pisagor'dan alır; oysa kanıtlar, aynı sayısal ilişkinin herhangi bir biçimsel ispattan bağımsız olarak Babilli ve başka antik matematikçilerce Pisagor'dan çok önce bilinip kullanıldığını gösterir.
Teorem yalnızca düz (Öklidyen) düzlemdeki dik üçgenler için geçerlidir. Dik açısı olmayan üçgenlerde işlemez -- onlar için daha genel olan kosinüs teoremi gerekir -- ve küre gibi eğri bir yüzeye çizilen üçgenlerde de tam olarak sağlanmaz; çünkü orada geometrinin kendisi farklıdır.
Neden işe yarar: klasik yeniden yerleştirme kanıtı
Teoremin en bilinen gösterimlerinden biri olan yeniden yerleştirme kanıtı, aynı dik üçgenin (dik kenarları a ile b, hipotenüsü c olan) dört özdeş kopyasını kenar uzunluğu (a + b) olan tek bir büyük karenin içine yerleştirir. Belirli bir yerleşimde dört üçgen, kenar uzunluğu c olan eğik ve daha küçük bir iç kareyi çevreler; böylece büyük karenin alanı dört üçgen ile bu iç kareye ayrılır: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, yani sadeleşince (a + b)^2 = 2ab + c^2.
Sol tarafı cebirsel olarak açarsak (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 elde ederiz. Aynı toplam alan için yazılan iki ifadeyi eşitlersek: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2. Her iki taraftan 2ab çıkarıldığında geriye a^2 + b^2 = c^2 kalır -- yani Pisagor teoremi, yalnızca aynı karenin alanının iki farklı yoldan hesaplanması karşılaştırılarak elde edilmiş olur. Bu kanıt, yüzyıllar boyunca yayımlanan yüzlerce kanıttan yalnızca biridir; Elisha Loomis'in The Pythagorean Proposition adlı derlemesi teoremin 367 farklı kanıtını bir araya getirir.
Pisagor üçlüleri: 3-4-5 ve ötesi
Pisagor üçlüsü, a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini tam olarak sağlayan üç pozitif tam sayıdan (a, b ve c) oluşan kümedir; yani bu üç tam sayı uzunluğa sahip bir dik üçgen hiçbir yuvarlamaya gerek kalmadan vardır. En küçük ve en çok tanınan üçlü 3-4-5'tir, çünkü 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2.
Bilinen bir üçlünün her tam sayı katı da geçerli bir üçlüdür -- örneğin 3-4-5'in iki katı 6-8-10, üç katı ise 9-12-15 olur ve her ikisi de a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini sağlar. Aşağıdaki 3-4-5, 5-12-13 ve 8-15-17 gibi, daha küçük bir üçlünün katı olmayan üçlülere ise ilkel Pisagor üçlüsü denir.
| Dik kenar a | Dik kenar b | Hipotenüs c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
Gerçek kullanımlar: köşegenler ve uzaklıklar
Bir dikdörtgenin köşegeni, komşu iki kenarıyla birlikte bir dik üçgen oluşturduğundan Pisagor teoremi köşegen uzunluğunu doğrudan verir: köşegen = (uzunluk^2 + genişlik^2) ifadesinin karekökü. Ölçüleri 6 x 8 birim olan bir dikdörtgenin köşegeni (6^2 + 8^2) = (36 + 64) = 100 sayısının karekökü, yani tam olarak 10 birimdir -- bu da 3-4-5'in bir katı olan 6-8-10 üçlüsüdür.
Aynı ilke üç boyuta taşındığında dikdörtgenler prizmasının cisim köşegenini verir; bunun için teorem iki kez uygulanır: önce taban dikdörtgeninin köşegeni bulunur, ardından bu köşegen prizmanın yüksekliğiyle birleştirilir. Ölçüleri 12 x 9 x 8 birim olan bir kutunun cisim köşegeni (12^2 + 9^2 + 8^2) = (144 + 81 + 64) = 289 sayısının karekökü, yani tam olarak 17 birimdir. İki nokta arasındaki doğrusal uzaklığı bulmak için kullanılan koordinat uzaklık formülü, d = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) ifadesinin karekökü, aslında aynı teoremin iki nokta arasındaki yatay ve dikey farklara doğrudan uygulanmış hâlidir: (1,2) ve (4,6) noktaları için uzaklık (3^2 + 4^2) = 25 sayısının karekökü, yani 5'tir.
Karşıtı: dik açıyı 3-4-5 ile denetlemek
Pisagor teoreminin karşıtı da doğrudur ve uygulamada sıkça kullanılır: ölçülen üç kenar uzunluğu a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini sağlıyorsa, oluşturdukları üçgen -- o açı hiç ölçülmemiş olsa bile -- en uzun kenarın karşısında bir dik açı içermek zorundadır. Bu karşıt önerme, inşaat ve marangozlukta dik (90 derecelik) bir köşeyi denetlemek veya kurmak için kullanılan geleneksel 3-4-5 yönteminin temelidir: bir kenar boyunca 3 birim, ona dik kenar boyunca 4 birim ölçülür ve işaretlenen iki nokta arasındaki köşegenin tam 5 birim olduğu doğrulanırsa köşenin gerçek bir dik açı olduğu kesinleşir.
Bu yöntem işler, çünkü karşıt önerme tek bir sonucu güvence altına alır: a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini sağlayan üç pozitif uzunluk yalnızca bir dik üçgen oluşturabilir, asla dar ya da geniş açılı bir üçgen değil; dik açı da en uzun kenarın, yani c'nin karşısında bulunur. 3-4-5 üçlüsünün 6-8-10 ya da 9-12-15 gibi her katı, daha büyük köşeleri denetlemek için aynı biçimde işe yarar.
Sıkça Sorulan Sorular
Pisagor teoreminin formülü nedir?
a^2 + b^2 = c^2; burada a ile b bir dik üçgenin dik kenarları, c ise dik açının karşısındaki kenar olan hipotenüstür. Formül yalnızca düz bir düzlemdeki dik üçgenler için geçerlidir.
Pisagor teoremi nasıl kanıtlanır?
Klasik yöntemlerden biri olan yeniden yerleştirme kanıtı, dört özdeş dik üçgeni kenarı (a + b) olan bir karenin içine yerleştirir; böylece toplam alan iki farklı yoldan hesaplanabilir -- bir kez (a + b)^2 olarak, bir kez de dört üçgen artı alanı c^2 olan eğik iç kare olarak. Aynı alanı veren bu iki ifade eşitlenip cebirsel olarak sadeleştirildiğinde a^2 + b^2 = c^2 elde edilir. Bunun dışında yüzlerce kanıt yayımlanmıştır; Elisha Loomis'in derlemesi bunlardan 367 tanesini belgeler.
Pisagor üçlüsü nedir ve en küçüğü hangisidir?
Pisagor üçlüsü, a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini tam olarak sağlayan üç pozitif tam sayıdan (a, b ve c) oluşan kümedir. En küçük ve en yaygın üçlü 3-4-5'tir, çünkü 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2. Diğer yaygın üçlüler arasında 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 ve 9-40-41 bulunur.
Bir dikdörtgenin köşegeni Pisagor teoremiyle nasıl bulunur?
Dikdörtgenin köşegeni, uzunluk ile genişliğin dik kenar olduğu bir dik üçgenin hipotenüsünü oluşturur; dolayısıyla köşegen = (uzunluk^2 + genişlik^2) ifadesinin karekökü. 6 x 8 ölçülerindeki bir dikdörtgenin köşegeni (36 + 64) = 100 sayısının karekökü, yani tam olarak 10 birimdir.
Pisagor teoremi eğri yüzeylerde işler mi?
Hayır. Teorem yalnızca düz (Öklidyen) düzleme çizilmiş dik üçgenler için tam olarak geçerlidir. Küre yüzeyi gibi eğri bir yüzeyde açılar ile kenar uzunlukları arasındaki ilişkileri farklı, Öklidyen olmayan bir geometri yönetir ve 90 derecelik açısı olan bir üçgende bile a^2 + b^2 = c^2 artık tam olarak sağlanmaz.
İnşaatçılar dik açıyı denetlemek için 3-4-5 kuralını nasıl kullanır?
Pisagor teoreminin karşıtına göre, ölçülen üç uzunluk a^2 + b^2 = c^2 eşitliğini sağlıyorsa en uzun uzunluğun karşısındaki açı tam olarak 90 derecedir. Bir kenar boyunca 3 birim, ona dik kenar boyunca 4 birim işaretlenip bu iki nokta arasındaki uzaklığın tam 5 birim olduğu doğrulandığında köşenin gerçek bir dik açı olduğu kanıtlanır -- inşaat ve marangozlukta yaygın olarak kullanılan bir yöntemdir.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).