İki teorem, iki farklı bilinen değer kümesi
Dik olmayan her üçgen -- eğik üçgen de denir -- bilinen üç ölçümden tümüyle çözülebilir; oysa hangi formülün uygulanacağı, tam olarak hangi üç ölçümün bilindiğine bağlıdır. Sinüs teoremi ile kosinüs teoremi bu iş için genel amaçlı iki araçtır ve her biri farklı bir bilinen bileşimine uygundur.
| Bilinen değerler | Yöntem | Notlar |
|---|---|---|
| İki açı + herhangi bir kenar (AAS veya ASA) | Sinüs teoremi | Her zaman tam olarak tek çözüm |
| İki kenar + aralarındaki açı (SAS) | Kosinüs teoremi | Her zaman tam olarak tek çözüm |
| Üç kenar (SSS) | Kosinüs teoremi | Üçgen eşitsizliği sağlanıyorsa her zaman tek çözüm |
| İki kenar + arada olmayan açı (SSA) | Sinüs teoremi, dikkatle | Sıfır, bir veya iki çözüm mümkün -- belirsiz durum |
Sinüs teoremi: iki açı ve bir kenar (AAS/ASA)
Sinüs teoremi, her üçgende bir kenarın uzunluğunun tam karşısındaki açının sinüsüne oranının üç kenar için de aynı olduğunu söyler: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). İki açı ile herhangi bir kenar verildiğinde, üçüncü açı bir üçgenin iç açıları toplamının 180 derece olmasından hemen çıkar; eksik iki kenar da doğrudan bu orandan bulunur.
Çözümlü örnek: A açısı = 40 derece, a kenarı = 15 (A açısının karşısında) ve B açısı = 60 derece olsun. 1. adım: C açısı = 180 - 40 - 60 = 80 derece. 2. adım: b kenarı = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 derece) / sin 40 derece = (15 x 0,8660) / 0,6428, yani yaklaşık 20,2094. 3. adım: c kenarı = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 derece) / sin 40 derece, yani yaklaşık 22,9813. Üçgenin alanı, 1/2 x a x b x sin C ile yaklaşık 1/2 x 15 x 20,2094 x sin(80 derece), yani yaklaşık 149,2681 birim karedir.
Kosinüs teoremi: iki kenar ve aralarındaki açı (SAS) ya da üç kenar (SSS)
Kosinüs teoremi, Pisagor teoremini dik açısı olmayan üçgenlere genelleştirir: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C); burada C, a ile b kenarları arasında kalan açıdır. C tam olarak 90 derece olduğunda cos(C) = 0 olur ve formül tam olarak Pisagor teoremine, yani a^2 + b^2 = c^2 ifadesine indirgenir.
Çözümlü örnek: a = 8 ve b = 11 kenarları ile aralarındaki açı C = 37 derece olsun. 1. adım: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 derece) = 64 + 121 - 176 x 0,7986, yani yaklaşık 185 - 140,55 = 44,45; buradan c yaklaşık 6,6663 olur. 2. adım: üç kenar da bilindikten sonra kalan açılar, formülün düzenlenmiş hâlinden gelir: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc); bu da A açısını yaklaşık 46,2375 derece, B açısını ise yaklaşık 96,7625 derece verir (C = 37 derece ile toplamları, gerektiği gibi, 180 derecedir). Alan ise 1/2 x a x b x sin(C) ile yaklaşık 1/2 x 8 x 11 x sin(37 derece), yani yaklaşık 26,4799 birim karedir.
Belirsiz SSA durumu, dürüstçe açıklanırsa
İki kenar ile aralarında olmayan bir açı bilindiğinde (SSA) -- örneğin a kenarı, b kenarı ve A açısı, burada A, a ile b arasındaki açı değildir -- sinüs teoremi yine uygulanabilir; oysa verilen ölçümleri sağlayan geçerli üçgen sayısı her zaman bir olmaz. Değerlere göre hiç üçgen olmayabilir (verilen açı ve kenarlar kapalı bir üçgen oluşturamaz), tam olarak bir üçgen olabilir ya da ikisi de geçerli olan tam olarak iki farklı üçgen bulunabilir.
Belirleyici etken, h = b x sin(A) yüksekliğinin a kenarıyla karşılaştırılmasıdır. a, h'den küçükse hiçbir üçgen yoktur. a, h'ye eşitse tam olarak bir üçgen vardır ve a kenarının karşısındaki köşede dik açı bulunur. h, a'dan küçük ve a da b'den küçükse iki farklı üçgen vardır. a, b'den büyük ya da ona eşitse tam olarak bir üçgen vardır.
Belirsiz durum için çözümlü örnek: a kenarı = 20, b kenarı = 25, A açısı = 40 derece. Burada h = 25 x sin(40 derece), yani yaklaşık 16,0697'dir; 16,0697 sayısı 20'den, 20 de 25'ten küçük olduğundan bu ölçümleri iki farklı üçgen sağlar. İkisini de çözersek: birincisinde B açısı yaklaşık 53,4641 derece, C açısı yaklaşık 86,5359 derece ve c kenarı yaklaşık 31,0576'dır; ikincisinde ise B açısı yaklaşık 126,5359 derece, C açısı yaklaşık 13,4641 derece ve c kenarı yaklaşık 7,2446'dır. Her iki üçgen de a = 20, b = 25 ve A = 40 derece şeklindeki aynı başlangıç değerlerini kullanır, buna karşılık gerçekten farklı iki şekli anlatır -- SSA durumuna tam da bu yüzden belirsiz denir ve AAS, ASA ile SAS'ın gerektirmediği bu ek denetim bu yüzden şarttır.
Uygulamada doğru formülü seçmek
Harita ölçümü, seyrüsefer ve mühendislik gibi alanlarda pratik öneri şudur: alışkanlıkla tek bir teoreme yönelmek yerine, önce hangi üç ölçümün gerçekten elde olduğunu belirleyin. İki açı ölçülmüşse (iki sabit gözlem noktasından üçgenleme yaparken sık görülür) sinüs teoremi doğrudan ve belirsizlik olmadan uygulanır. İki uzaklık ile aralarındaki açı ölçülmüşse (tek bir köşeden iki kenar işaretlendiğinde sık görülür) kosinüs teoremi doğrudan ve belirsizlik olmadan uygulanır.
SSA durumu göründüğünden daha sık ortaya çıkar -- örneğin bilinen bir kenar, ikinci bir kenar ve fiziksel olarak bunların arasında yer almayan bir açı ölçüldüğünde. Bu durum sessizce iki geçerli cevap üretebildiğinden, elde yalnızca SSA bileşimi varsa yukarıda anlatılan a ile h karşılaştırmasını açıkça yapmak gerekir; ilk hesaplanan üçgenin veriye uyan tek üçgen olduğunu varsaymak yerine.
Sıkça Sorulan Sorular
Kosinüs teoremi yerine sinüs teoremini ne zaman kullanmalıyım?
Sinüs teoremini, iki açı ile herhangi bir kenarın bilindiği (AAS ya da ASA) durumlarda kullanın; bunun her zaman tam olarak tek çözümü vardır. İki kenar ile aralarında olmayan bir açının bilindiği (SSA) durumda da kullanılır, ama belirsiz durum denetimi gerekir. İki kenar ile aralarındaki açı (SAS) veya üç kenar (SSS) biliniyorsa bunun yerine kosinüs teoremini kullanın.
Belirsiz SSA durumu nedir?
SSA, iki kenar ile aralarında olmayan bir açının bilinmesi demektir. Değerlere bağlı olarak bu bileşim sıfır, bir ya da iki geçerli üçgen üretebilir; oysa AAS, ASA ve SAS her zaman tam olarak bir üçgen verir. Örneğin a = 20, b = 25 ve A açısı = 40 derece için verilen ölçümleri iki farklı üçgen sağlar -- birinde B açısı yaklaşık 53,4641 derece, diğerinde yaklaşık 126,5359 derecedir.
Kosinüs teoremiyle eksik bir kenar nasıl bulunur?
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C) formülünü uygulayın; burada C, a ile b kenarları arasındaki açıdır. Sonra karekökünü alın. a = 8, b = 11 ve C = 37 derece için c^2 = 64 + 121 - 176 x cos(37 derece), yani yaklaşık 44,45 olur; buradan c yaklaşık 6,6663 çıkar.
Sinüs teoremiyle eksik bir kenar nasıl bulunur?
a / sin(A) = b / sin(B) oranını kurup bilinmeyen kenarı çözün. A açısı = 40 derece, a kenarı = 15 ve B açısı = 60 derece için b kenarı = (15 x sin 60 derece) / sin 40 derece, yani yaklaşık 20,2094 olur.
Kosinüs teoremi yalnızca üç kenardan (SSS) bir üçgeni çözebilir mi?
Evet. Üç kenar da bilindiğinde kosinüs teoremi her açıyı çözecek biçimde düzenlenir: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). Sinüs teoremi bir SSS problemine başlamak için kullanılamaz; çünkü oranını kurabilmek için en az bir bilinen açıya ihtiyaç duyar ve SSS bunu doğrudan vermez.
Kaynaklar
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).