Entendendo a prévia da sequência
O sinal da razão determina se a sequência cresce, decresce ou fica constante, como mostrado abaixo para um primeiro termo igual a 3.
| Razão (d) | Comportamento | 5 primeiros termos (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (ex.: d = 4) | Sequência crescente | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | Sequência constante — todo termo é igual a a₁ | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (ex.: d = −4) | Sequência decrescente | 3, −1, −5, −9, −13 |
- A prévia mostra até os 8 primeiros termos; para n maior que 8, as reticências (…) indicam que a sequência continua além do exibido, embora o enésimo termo e a soma sejam calculados exatamente para todo o n informado.
- Diferentemente de uma progressão geométrica, uma progressão aritmética não tem limite superior para o tamanho dos termos conforme n cresce (a menos que d = 0), e não existe “soma até o infinito” finita — a soma parcial Sₙ cresce sem limite conforme n aumenta (para d ≠ 0).
O que é uma progressão aritmética?
Uma progressão aritmética (PA) é uma lista ordenada de números na qual a diferença entre cada termo e o anterior é sempre a mesma constante, chamada de razão (d). Por exemplo, 3, 7, 11, 15, 19 é uma progressão aritmética de primeiro termo 3 e razão 4, porque cada termo tem 4 unidades a mais que o anterior.
A razão pode ser positiva (sequência crescente), negativa (sequência decrescente) ou zero (sequência constante, em que todo termo é igual ao primeiro). Progressões aritméticas modelam qualquer processo que varia pela mesma quantidade fixa a cada passo, como um plano de poupança com depósitos iguais, fileiras de assentos que ganham sempre o mesmo número extra de lugares, ou um cronômetro regressivo que desconta um intervalo fixo.
Duas grandezas costumam ser pedidas sobre uma progressão aritmética: o valor de um termo específico (o enésimo termo) e a soma de uma sequência de termos consecutivos (a soma parcial, também chamada de série aritmética). Esta calculadora entrega as duas a partir das mesmas três entradas.
Como usar esta calculadora de progressão aritmética
- Informe o primeiro termo da sequência (a₁) — o valor de partida.
- Informe a razão (d) — a quantidade fixa somada a cada termo para obter o seguinte. Use um número negativo para uma sequência decrescente.
- Informe o número de termos (n) para o qual você quer o enésimo termo e a soma.
- Leia o enésimo termo, a soma dos n primeiros termos e uma prévia com até os 8 primeiros termos da sequência.
As fórmulas da progressão aritmética
O enésimo termo de uma progressão aritmética sai de partir do primeiro termo e somar a razão (n − 1) vezes, já que o primeiro termo não exige nenhuma soma: aₙ = a₁ + (n − 1)d. Exemplo resolvido com a₁ = 3, d = 4, n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
A soma dos n primeiros termos se apoia no fato de que emparelhar o primeiro com o último termo, o segundo com o penúltimo e assim por diante dá sempre a mesma soma de par (a₁ + aₙ). Daí a fórmula fechada Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), equivalente a Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ). Exemplo resolvido: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
O folclore matemático atribui essa fórmula de soma ao jovem Carl Friedrich Gauss, de quem se conta que somou os inteiros de 1 a 100 emparelhando 1+100, 2+99 e assim por diante, obtendo 50 pares de soma 101 cada, num total de 5050 — a mesma lógica de emparelhamento que sustenta a fórmula geral usada aqui.
Erros comuns
- Usar n em vez de (n − 1) na fórmula do termo geral — o primeiro termo (n = 1) não exige nenhuma soma de d, e não uma, já que aₙ = a₁ + (n − 1)d.
- Confundir a razão da PA com a razão da PG — progressões aritméticas somam uma quantidade fixa a cada passo; progressões geométricas multiplicam por um fator fixo.
- Achar que a fórmula da soma exige listar todos os termos — a fórmula fechada Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d) calcula a soma diretamente, sem precisar somar termo a termo.
- Informar um número de termos não inteiro — n precisa ser um inteiro positivo que representa uma posição (1º, 2º, 3º, …), não uma contagem fracionária.
Perguntas frequentes
Como se encontra o enésimo termo de uma progressão aritmética?
Use a fórmula aₙ = a₁ + (n − 1)d, em que a₁ é o primeiro termo, d é a razão e n é a posição desejada. Para a₁ = 3, d = 4 e n = 10: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
Como se calcula a soma de uma progressão aritmética?
Use a fórmula Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), que soma os n primeiros termos sem precisar somar cada um separadamente. Para a₁ = 3, d = 4 e n = 10: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
Qual é a diferença entre progressão aritmética e geométrica?
Uma progressão aritmética tem diferença constante entre termos consecutivos (cada termo = termo anterior + d). Uma progressão geométrica tem razão constante entre termos consecutivos (cada termo = termo anterior × r). As aritméticas crescem linearmente; as geométricas crescem (ou encolhem) exponencialmente quando o módulo da razão é diferente de 1.
A razão pode ser negativa ou zero?
Sim. Uma razão negativa produz uma sequência decrescente (por exemplo, 10, 7, 4, 1, −2 com d = −3). Uma razão igual a zero produz uma sequência constante, em que todo termo é igual ao primeiro. As duas são progressões aritméticas válidas.
Como encontrar a razão a partir de dois termos?
Subtraia qualquer termo do termo imediatamente seguinte: d = aₙ₊₁ − aₙ. Se você conhece apenas dois termos não consecutivos, aₘ e aₙ, use d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m).
Referências
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.