Entendendo convergência e divergência
Se uma série geométrica converge para uma soma finita conforme mais termos são acrescentados depende inteiramente do módulo da razão, como resumido abaixo.
| Razão |r| | Comportamento dos termos | Soma até o infinito |
|---|---|---|
| |r| < 1 (ex.: r = 0,5) | Os termos encolhem em direção a 0 | Converge: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | Os termos mantêm o mesmo módulo (ou alternam de sinal se r = −1) | Diverge (sem soma finita, exceto no caso trivial a₁ = 0) |
| |r| > 1 (ex.: r = 3) | Os termos crescem sem limite em módulo | Diverge (sem soma finita) |
- A prévia mostra até os 8 primeiros termos; para n maior que 8, as reticências (…) indicam que existem mais termos, ainda que o enésimo termo e a soma finita sejam calculados exatamente para todo o n informado.
- O resultado da soma infinita só aparece quando |r| < 1; para qualquer outra razão, a série não tem soma finita e a calculadora sinaliza isso em vez de exibir um número enganoso.
- Uma razão exatamente igual a 0 não caracteriza uma progressão geométrica padrão (todo termo após o primeiro seria 0), e razões negativas produzem uma sequência que alterna de sinal a cada termo.
O que é uma progressão geométrica?
Uma progressão geométrica (PG) é uma lista ordenada de números em que cada termo, a partir do segundo, é obtido multiplicando-se o termo anterior por uma constante chamada razão (r). Por exemplo, 2, 6, 18, 54, 162 é uma progressão geométrica de primeiro termo 2 e razão 3, porque cada termo vale 3 vezes o anterior.
Quando |r| > 1, os termos crescem sem limite em módulo (crescimento exponencial); quando 0 < |r| < 1, encolhem em direção a zero (decaimento exponencial); quando r = 1, todos os termos são iguais ao primeiro; e quando r é negativo, o sinal dos termos se alterna. Progressões geométricas modelam juros compostos, duplicação populacional, decaimento radioativo e qualquer processo em que uma grandeza é repetidamente multiplicada pelo mesmo fator.
Uma série geométrica é a soma dos termos de uma progressão geométrica. Ao contrário de uma série aritmética, uma série geométrica pode ter soma finita mesmo estendida a infinitos termos, desde que o valor absoluto da razão seja estritamente menor que 1 — propriedade sem equivalente nas progressões aritméticas.
Como usar esta calculadora de progressão geométrica
- Informe o primeiro termo da sequência (a₁) — o valor de partida.
- Informe a razão (r) — o fator fixo pelo qual cada termo é multiplicado para gerar o seguinte. Use um valor entre −1 e 1 (excluindo 0) para ver uma soma infinita convergente.
- Informe o número de termos (n) para o qual você quer o enésimo termo e a soma parcial.
- Leia o enésimo termo, a soma dos n primeiros termos, a soma até o infinito (exibida somente quando |r| < 1) e uma prévia com até os 8 primeiros termos.
As fórmulas da progressão geométrica
O enésimo termo sai de multiplicar o primeiro termo pela razão elevada a (n − 1): aₙ = a₁ × r^(n−1). Exemplo resolvido com a₁ = 2, r = 3, n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
A soma dos n primeiros termos usa a fórmula fechada Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) para r ≠ 1, obtida ao subtrair da série uma cópia dela mesma multiplicada pela razão, o que cancela tudo menos o primeiro e o último termo. Quando r = 1, todos os termos valem a₁ e a soma é simplesmente Sₙ = a₁ × n. Exemplo resolvido: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
Quando |r| < 1, o termo rⁿ encolhe em direção a 0 conforme n cresce sem limite, portanto a fórmula da soma parcial converge para um limite finito: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Por exemplo, com a₁ = 8 e r = 0,5, S∞ = 8 ÷ (1 − 0,5) = 16 — a soma infinita de 8, 4, 2, 1, 0,5, … se aproxima de 16 sem nunca ultrapassá-lo. Quando |r| ≥ 1, a soma infinita diverge (não tem valor finito) e esta calculadora não informa nenhum.
Erros comuns
- Usar n em vez de (n − 1) como expoente — o primeiro termo (n = 1) é a₁ × r⁰ = a₁, e não a₁ × r¹, portanto o expoente é sempre (n − 1).
- Aplicar a fórmula da soma infinita quando |r| ≥ 1 — nesse caso a série diverge e não tem soma finita; a fórmula a₁ ÷ (1 − r) só vale quando |r| < 1.
- Confundir a razão da PG com a razão da PA — progressões geométricas multiplicam por r a cada passo; progressões aritméticas somam d a cada passo.
- Esquecer que uma razão negativa produz uma sequência alternada (por exemplo, 2, −6, 18, −54 para a₁ = 2 e r = −3), o que alguns estudantes interpretam como erro em vez de comportamento esperado.
Perguntas frequentes
Como se encontra o enésimo termo de uma progressão geométrica?
Use a fórmula aₙ = a₁ × r^(n−1), em que a₁ é o primeiro termo, r é a razão e n é a posição do termo. Para a₁ = 2, r = 3 e n = 5: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
Como se calcula a soma de uma série geométrica?
Para um número finito de termos, use Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1) quando r ≠ 1. Para a₁ = 2, r = 3 e n = 5: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. Para uma série geométrica infinita com |r| < 1, use S∞ = a₁ ÷ (1 − r).
Quando uma série geométrica infinita tem soma?
Uma série geométrica infinita converge para uma soma finita apenas quando o valor absoluto da razão é estritamente menor que 1 (|r| < 1). Nesse caso, S∞ = a₁ ÷ (1 − r). Se |r| ≥ 1, os termos não encolhem em direção a zero, portanto a soma cresce sem limite e a série diverge.
Qual é a diferença entre progressão geométrica e aritmética?
Uma progressão geométrica multiplica por uma razão constante (r) para obter cada termo seguinte, gerando crescimento ou decaimento exponencial. Uma progressão aritmética soma uma diferença constante (d) para obter cada termo seguinte, gerando crescimento ou decrescimento linear. Uma sequência não pode, em geral, ser as duas coisas, a não ser quando a razão é 1 (sequência constante).
A razão pode ser negativa?
Sim. Uma razão negativa produz uma sequência alternada, em que o sinal muda a cada termo. Por exemplo, a₁ = 2 e r = −3 dão 2, −6, 18, −54, 162, alternando entre valores positivos e negativos sem deixar de obedecer a aₙ = a₁ × r^(n−1).
Referências
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)