कोण इकाई रूपांतरण तालिका
हर इकाई पूरे चक्कर के अंश के रूप में, उसके डिग्री और रेडियन मान के साथ।
| इकाई | डिग्री | रेडियन | चक्कर का अंश |
|---|---|---|---|
| 1 चक्कर | 360 | 6.2831853 | 1 |
| 1 डिग्री | 1 | 0.017453293 | 1/360 |
| 1 ग्रेडियन | 0.9 | 0.015707963 | 1/400 |
| 1 रेडियन | 57.295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 आर्कमिनट | 0.016666667 | 0.00029088821 | 1/21,600 |
| 1 आर्कसेकंड | 0.00027777778 | 0.0000048481368 | 1/1,296,000 |
| 1 मिलिरेडियन | 0.057295780 | 0.001 | 1/(2000π) |
- इस तालिका के सभी गुणक परिभाषा से सटीक हैं। दिखाए गए दशमलव मान गोल किए हुए हैं, पर उनके पीछे के संबंध — प्रति चक्कर 360 डिग्री, 400 ग्रेडियन और 2π रेडियन — किसी भी माप-अनिश्चितता से मुक्त हैं।
- यहाँ प्रयुक्त मिलिरेडियन सच्चा कोणीय मिलिरेडियन है, यानी 1/1000 रेडियन। कई निशानेबाज़ी विधाएँ थोड़ा अलग mil इस्तेमाल करती हैं: नाटो mil चक्कर को 6,283.19 के बजाय 6,400 भागों में बाँटता है, इसलिए बदलने से पहले जाँच लें कि स्कोप या रेटिकल किसकी बात कर रहा है।
- स्प्रेडशीट और प्रोग्रामिंग भाषाओं के त्रिकोणमितीय फलन लगभग हमेशा रेडियन की अपेक्षा रखते हैं। उन्हें डिग्री देना चुपचाप ग़लत ज्यामिति के सबसे आम कारणों में से एक है।
कोण की सामान्य इकाइयाँ कौन-सी हैं?
कोण घूर्णन मापता है, और हर इकाई पूरे चक्कर का एक अंश है। डिग्री चक्कर को 360 भागों में बाँटती है — यह परिपाटी बेबीलोनी खगोल से आई है और इसलिए टिकी है कि 360 बहुत सारी संख्याओं से पूरा-पूरा कट जाता है। रेडियन उसे 2π भागों में बाँटता है और SI इकाई है: एक रेडियन वह कोण है जिसके सामने की चाप त्रिज्या के बराबर लंबी होती है।
रेडियन कोई मनमाना चुनाव नहीं है। कलन उसे मान कर चलता है — sin x का अवकलज cos x तभी होता है जब x रेडियन में हो — और चाप-लंबाई तथा त्रिज्यखंड-क्षेत्रफल के सूत्र भी वैसे ही, इसीलिए डिग्री में भरा गया कोण इनमें से कोई सूत्र लगाने से पहले बदलना पड़ता है।
ग्रेडियन, जिसे गोन भी कहते हैं, चक्कर को 400 भागों में बाँटता है, ताकि समकोण ठीक 100 gon हो। इसका उपयोग सर्वेक्षण में होता है, ख़ासकर महाद्वीपीय यूरोप में। आर्कमिनट और आर्कसेकंड डिग्री को 60 और 3,600 में बाँटते हैं, खगोल और नौवहन के लिए, और मिलिरेडियन प्रकाशिकी तथा बैलिस्टिक्स में चलता है, जहाँ एक मिलिरेडियन एक किलोमीटर पर लगभग एक मीटर घेरता है।
इस कोण कन्वर्टर का उपयोग कैसे करें
- जो कोण बदलना है वह भरें। ऋणात्मक मान स्वीकार्य हैं: दिशा या घूर्णन दोनों ओर मापा जा सकता है।
- उसकी इकाई चुनें: डिग्री, रेडियन, ग्रेडियन, चक्कर, आर्कमिनट, आर्कसेकंड या मिलिरेडियन।
- बाकी सभी इकाइयों में समतुल्य मान एक साथ पढ़ें।
- जो भी मान किसी त्रिकोणमितीय सूत्र, अवकलज या चाप-लंबाई की गणना में जाए, उसके लिए रेडियन लें।
कोण कन्वर्टर के पीछे के रूपांतरण गुणक
मान पहले रेडियन में बदला जाता है, फिर वहाँ से हर लक्ष्य इकाई में। चूँकि एक पूरा चक्कर एक साथ 2π रेडियन, 360 डिग्री, 400 ग्रेडियन और 1 चक्कर है, सभी गुणक इन्हीं तत्समकों से ठीक-ठीक निकलते हैं।
हल किया उदाहरण: 45° रेडियन में 45 × π/180 = π/4 = 0.78539816 rad। ग्रेडियन में: 45 × 400/360 = ठीक 50 gon। चक्कर में: 45/360 = ठीक 0.125। आर्कसेकंड में: 45 × 3,600 = ठीक 162,000।
आम गलतियाँ
- रेडियन की अपेक्षा रखने वाले त्रिकोणमितीय फलन को डिग्री देना। यदि 30 को रेडियन पढ़ा जाए तो sin(30) −0.988 आता है, न कि वह 0.5 जो आप चाहते थे।
- कोणीय मिलिरेडियन (1/1000 rad, प्रति चक्कर 6,283.19) को नाटो mil (प्रति चक्कर 6,400) समझ लेना। दोनों में लगभग 1.9% का अंतर है।
- आर्कमिनट को समय के मिनट पढ़ना। एक आर्कमिनट डिग्री का 1/60 है; यहाँ चिह्न ′ और ″ कोण बताते हैं, अवधि नहीं।
- यह मान लेना कि समकोण हर इकाई में 90 होता है। वह 90° है, पर 100 gon, π/2 rad और 0.25 चक्कर।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
1 रेडियन कितनी डिग्री होता है?
57.295780 डिग्री, यानी 180/π। यह संबंध इससे निकलता है कि एक पूरा चक्कर एक साथ 360 डिग्री और 2π रेडियन है, इसलिए एक रेडियन 360/(2π) = 180/π डिग्री होता है। उल्टा रूपांतरण है 1° = π/180 ≈ 0.017453293 rad।
गणितज्ञ डिग्री के बजाय रेडियन क्यों इस्तेमाल करते हैं?
क्योंकि कलन साफ़-सुथरे ढंग से केवल रेडियन में चलता है। sin x का अवकलज cos x होना, और छोटे कोणों के लिए sin x ≈ x का सन्निकटन, दोनों तभी सही हैं जब x रेडियन में मापा जाए। चाप-लंबाई (rθ) और त्रिज्यखंड-क्षेत्रफल (½r²θ) भी यही मान कर चलते हैं। डिग्री में इनमें से हर एक पर π/180 का गुणक चढ़ जाता है।
ग्रेडियन किस काम आता है?
मुख्यतः महाद्वीपीय यूरोप के सर्वेक्षण में। चक्कर को 400 भागों में बाँटने से समकोण ठीक 100 gon हो जाता है, जिससे चतुर्थांश और ढलान गोल संख्याओं पर आते हैं — थियोडोलाइट पढ़ते समय यह सुविधाजनक है। इसे गोन या ग्रेड भी कहते हैं।
एक डिग्री में कितने आर्कसेकंड होते हैं?
3,600। एक डिग्री 60 आर्कमिनट में बँटती है, और हर आर्कमिनट 60 आर्कसेकंड में, यानी प्रति डिग्री 3,600 आर्कसेकंड और पूरे चक्कर में 1,296,000। खगोलविद इन उपविभाजनों का उपयोग इसलिए करते हैं कि आकाशीय स्थितियाँ डिग्री से कहीं महीन विभेदन माँगती हैं।
व्यावहारिक रूप से मिलिरेडियन क्या है?
रेडियन का एक हज़ारवाँ भाग, जो एक किलोमीटर पर लगभग ठीक एक मीटर घेरता है — यही गुण उसे प्रकाशिकी और दूरी-मापन में उपयोगी बनाता है। ध्यान रहे कि कुछ निशानेबाज़ी विधाएँ mil को चक्कर के 1/6400 के रूप में परिभाषित करती हैं, जो लगभग 1.9% अलग है।
संदर्भ
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.