फॉर्मूला और परीक्षण मामला
चक्रवृद्धि ब्याज की गणना A = P(1 + r/n)^(nt) से की जाती है, जहाँ P मूलधन है, r नाममात्र वार्षिक दर है, n प्रति वर्ष चक्रवृद्धि अवधियों की संख्या है, और t वर्षों की संख्या है। चक्रवृद्धि आवृत्तियों के बीच केवल n बदलता है; P, r और t समान रहते हैं। इससे यह पूरी तरह अलग करके देखा जा सकता है कि अकेले चक्रवृद्धि आवृत्ति का कितना योगदान है।
आवृत्तियों की निष्पक्ष तुलना के लिए, हम बाकी सब कुछ स्थिर रखते हैं: $10,000 का मूलधन, 5% की नाममात्र वार्षिक दर, और 10 साल की अवधि। नीचे दी गई तालिका में पंक्ति-दर-पंक्ति केवल यह बदलता है कि ब्याज कितनी बार जोड़ा जाता है।
तुलना तालिका
प्रत्येक पंक्ति में वही $10,000 मूलधन, 5% नाममात्र दर और 10 साल की अवधि है। प्रभावी वार्षिक दर (EAR) कॉलम यह दिखाता है कि चक्रवृद्धि को ध्यान में रखने पर वास्तविक वार्षिक प्रतिफल क्या है।
| चक्रवृद्धि आवृत्ति | प्रभावी वार्षिक दर | 10 साल बाद शेष राशि |
|---|---|---|
| वार्षिक (n = 1) | 5.0000% | $16,288.95 |
| अर्ध-वार्षिक (n = 2) | 5.0625% | $16,386.16 |
| त्रैमासिक (n = 4) | 5.0945% | $16,436.19 |
| मासिक (n = 12) | 5.1162% | $16,470.09 |
| दैनिक (n = 365) | 5.1267% | $16,486.65 |
| सतत (Continuous) | 5.1271% | $16,487.21 |
आँकड़े क्या दिखाते हैं: घटता हुआ लाभ
जैसे-जैसे आवृत्ति बढ़ती है, अधिक बार चक्रवृद्धि से मिलने वाला लाभ तेज़ी से घटता जाता है। वार्षिक से मासिक चक्रवृद्धि में जाने पर दशक भर में $181.14 अधिक मिलते हैं। मासिक से दैनिक की ओर जाने पर केवल $16.56 और जुड़ते हैं, और दैनिक से सतत चक्रवृद्धि — जो गणितीय सीमा है — की ओर जाने पर सिर्फ $0.56 और मिलते हैं। सतत चक्रवृद्धि एक निश्चित ऊपरी सीमा है, जिसके एक डॉलर के भीतर दैनिक चक्रवृद्धि पहले से ही पहुँच जाती है।
व्यावहारिक निष्कर्ष यह है कि दर और समय-सीमा का प्रभाव सबसे अधिक होता है। अवधि को दोगुना करना या दर में एक प्रतिशत बिंदु का एक अंश भी बढ़ाना, चक्रवृद्धि आवृत्ति में किसी भी बदलाव से कहीं अधिक परिणाम बदल देता है। दो खातों की तुलना करते समय, प्रभावी वार्षिक दर (EAR) — न कि अकेले चक्रवृद्धि आवृत्ति — वह संख्या है जो निष्पक्ष तुलना संभव बनाती है।
बैंक नाममात्र दरें और EAR अलग-अलग क्यों बताते हैं
दैनिक चक्रवृद्धि वाली 5% की नाममात्र दर, 5% साधारण ब्याज के समान नहीं होती — इसकी प्रभावी वार्षिक दर 5.1267% है। यही कारण है कि नियामक संस्थाएँ ऋणदाताओं और बचत प्रदाताओं को प्रभावी या वार्षिक समतुल्य दर बताना अनिवार्य करती हैं: इससे अलग-अलग चक्रवृद्धि आवृत्ति वाले दो उत्पादों की तुलना एक ही, ईमानदार संख्या पर की जा सकती है। जब आप एक ही नाममात्र दर का विज्ञापन करने वाले दो खाते देखें, तो जो अधिक बार चक्रवृद्धि करता है उसकी EAR थोड़ी अधिक होगी, लेकिन अंतर छोटा ही रहता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
क्या दैनिक चक्रवृद्धि मासिक से कहीं बेहतर है?
केवल मामूली रूप से। $10,000 पर 5% की दर से 10 साल में, मासिक चक्रवृद्धि से $16,470.09 और दैनिक चक्रवृद्धि से $16,486.65 मिलते हैं — पूरे दशक में केवल $16.56 का अंतर।
चक्रवृद्धि अधिकतम कितना जोड़ सकती है?
सतत (continuous) चक्रवृद्धि गणितीय अधिकतम है। परीक्षण मामले में यह $16,487.21 तक पहुँचती है, जो दैनिक चक्रवृद्धि से केवल $0.56 अधिक है, यानी दैनिक चक्रवृद्धि लगभग उस सीमा पर ही है।
चक्रवृद्धि की आवृत्ति से ज़्यादा क्या मायने रखता है?
नाममात्र ब्याज दर और निवेश की अवधि — दोनों का अंतिम राशि पर प्रभाव, ब्याज कितनी बार चक्रवृद्धि होता है इससे कहीं अधिक होता है।
अलग-अलग चक्रवृद्धि वाले दो खातों की तुलना कैसे करें?
उनकी नाममात्र दरों या चक्रवृद्धि आवृत्तियों की बजाय प्रभावी वार्षिक दरों (EAR) की तुलना करें। EAR चक्रवृद्धि को एक ही वार्षिक आँकड़े में समेट देता है जिसकी सीधे तुलना की जा सकती है।
संदर्भ
- U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov) — Compound Interest Calculator and definition. https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator
- Consumer Financial Protection Bureau — Annual Percentage Yield (APY) and how compounding is disclosed. https://www.consumerfinance.gov/
- Federal Reserve — Regulation DD (Truth in Savings), disclosure of annual percentage yield. https://www.federalreserve.gov/