S'approcher d'une valeur n'est pas la même chose que l'atteindre
Une limite demande de quelle valeur une fonction se rapproche de plus en plus lorsque son entrée se rapproche de plus en plus d'un certain point c, sans exiger que la fonction soit réellement définie en c, ni qu'elle soit égale à cette valeur limite là-bas même si elle y est définie. Cette distinction — s'approcher plutôt qu'atteindre — est l'idée centrale qui sépare les limites de la simple substitution : la substitution demande « que vaut f(c) ? » ; une limite demande « vers quoi tend f(x) lorsque x se rapproche arbitrairement de c ? », et les deux questions peuvent avoir des réponses différentes, ou l'une peut avoir une réponse quand l'autre n'en a pas.
Pour une fonction bien comportée (continue), s'approcher et atteindre donnent la même réponse, ce qui explique pourquoi la simple substitution fonctionne pour la plupart des fonctions rencontrées en algèbre élémentaire. Les limites deviennent réellement nécessaires précisément aux points où une fonction n'est pas bien comportée — non définie, discontinue, ou construite à partir d'un rapport qui produit une forme indéterminée comme 0/0 en ce point précis — ce qui est exactement là où la substitution échoue mais où la limite peut néanmoins exister.
Limites unilatérales et limites bilatérales
Une limite unilatérale examine le comportement de la fonction dans une seule direction : la limite à gauche, notée lim(x→c⁻) f(x), observe les valeurs de f lorsque x s'approche de c par en dessous (par des valeurs inférieures à c) ; la limite à droite, notée lim(x→c⁺) f(x), observe les valeurs de f lorsque x s'approche de c par au-dessus (par des valeurs supérieures à c). Une limite bilatérale, notée lim(x→c) f(x) sans exposant, n'existe que lorsque les limites à gauche et à droite existent toutes deux et sont égales entre elles.
La fonction f(x) = |x| / x illustre un cas où les limites unilatérales divergent en c = 0 : pour tout x négatif, |x| / x = −1, donc la limite à gauche est −1 ; pour tout x positif, |x| / x = 1, donc la limite à droite est 1. Comme −1 ≠ 1, la limite bilatérale en x = 0 n'existe pas, même si les deux limites unilatérales existent chacune individuellement et sont parfaitement bien définies.
| Direction d'approche | Comportement de f(x) = |x| / x | Limite |
|---|---|---|
| À gauche (x → 0⁻) | f(x) = −1 pour tout x < 0 | lim = −1 |
| À droite (x → 0⁺) | f(x) = 1 pour tout x > 0 | lim = 1 |
| Bilatérale (x → 0) | Les limites à gauche et à droite divergent (−1 ≠ 1) | N'existe pas |
Le cas classique : pourquoi sin(x)/x nécessite une limite, pas une substitution
Substituer x = 0 directement dans sin(x)/x donne sin(0)/0 = 0/0, une forme indéterminée qui ne porte aucune valeur numérique définie en elle-même — 0/0 n'est pas automatiquement 0, ni 1, ni « à jamais indéfini » ; cela signifie simplement que la substitution directe ne peut pas répondre à la question et qu'une limite doit être évaluée à la place. Évaluer sin(x)/x sur une suite de valeurs de x se rapprochant de 0 des deux côtés montre la valeur de la fonction tendre régulièrement vers 1, et non vers 0 ou tout autre nombre.
Numériquement : à x = 0,1, sin(x)/x ≈ 0,998334 ; à x = 0,01, sin(x)/x ≈ 0,999983 ; à x = 0,001, sin(x)/x ≈ 0,9999998 ; à x = 0,0001, sin(x)/x ≈ 0,99999998. Les tendances à gauche et à droite convergent toutes deux vers 1, donc lim(x→0) sin(x)/x = 1, même si la fonction sin(x)/x elle-même n'est pas définie exactement en x = 0. Ce résultat est un classique du calcul et se démontre habituellement de façon rigoureuse à l'aide d'un argument géométrique d'encadrement (théorème des gendarmes) plutôt que par la seule évaluation numérique.
Quand une limite n'existe pas : 1/x en x = 0
Toutes les limites n'existent pas. La fonction f(x) = 1/x, lorsque x s'approche de c = 0, illustre une limite qui échoue à cause d'une croissance non bornée plutôt que d'un simple désaccord : lorsque x s'approche de 0 par la droite (petites valeurs positives), 1/x croît sans limite vers l'infini positif ; lorsque x s'approche de 0 par la gauche (petites valeurs négatives), 1/x croît sans limite vers l'infini négatif. Comme les deux comportements unilatéraux divergent vers des infinis opposés plutôt que de converger vers un même nombre fini, la limite bilatérale en x = 0 n'existe pas.
Les limites peuvent aussi échouer à exister à cause d'une oscillation plutôt que d'une divergence vers l'infini — par exemple, sin(1/x) lorsque x s'approche de 0 oscille entre −1 et 1 infiniment souvent, quelle que soit la proximité de x avec 0, sans jamais se stabiliser vers une seule valeur d'aucun côté. La croissance non bornée et l'oscillation persistante sont deux raisons classiques et bien documentées pour lesquelles une limite n'existe pas, distinctes du cas de désaccord entre limites unilatérales illustré ci-dessus par |x|/x.
Pourquoi les limites sont le socle sur lequel reposent dérivées et intégrales
La définition formelle d'une dérivée est elle-même une limite — la limite de la pente d'une sécante lorsque les deux points qui la définissent se rapprochent l'un de l'autre — et la définition formelle d'une intégrale définie est également une limite, la limite d'une somme de Riemann lorsque le nombre de rectangles croît sans limite. Comprendre ce qu'est une limite et quand elle existe ou non n'est donc pas un sujet annexe en calcul ; c'est le mécanisme sous-jacent aux deux opérations centrales de la discipline.
C'est aussi pourquoi une calculatrice de limite numérique, comme celle de ce site, est conçue conceptuellement de la même façon que sin(x)/x a été évalué ci-dessus : elle estime le comportement à gauche et à droite en évaluant la fonction en des points de plus en plus proches de la valeur d'approche de chaque côté, puis vérifie si ces deux tendances concordent suffisamment pour indiquer une limite bilatérale.
Questions fréquentes
Que signifie le fait qu'une limite n'existe pas ?
Cela signifie que le comportement de la fonction lorsque x s'approche d'un point précis ne se stabilise pas vers une valeur unique et bien définie — souvent parce que les approches à gauche et à droite divergent (comme avec |x|/x en x = 0), parce que la fonction croît sans limite dans des directions opposées de chaque côté (comme avec 1/x en x = 0), ou parce que la fonction oscille de façon persistante près de ce point sans se stabiliser.
Quelle est la différence entre une limite unilatérale et une limite bilatérale ?
Une limite unilatérale examine le comportement d'une fonction en approchant un point dans une seule direction — la limite à gauche à partir de valeurs inférieures, la limite à droite à partir de valeurs supérieures. Une limite bilatérale n'existe que lorsque les deux limites unilatérales existent et sont égales entre elles ; si elles divergent, la limite bilatérale n'existe pas même si chaque limite unilatérale peut rester parfaitement bien définie individuellement.
Pourquoi lim(x→0) sin(x)/x = 1 alors que sin(0)/0 n'est pas défini ?
Parce qu'une limite demande vers quelle valeur une fonction tend, et non la valeur qu'elle prend au point lui-même. La substitution directe donne la forme indéterminée 0/0, qui ne porte aucune valeur définie en elle-même, mais évaluer sin(x)/x en des points de plus en plus proches de 0 des deux côtés montre la valeur convergeant régulièrement vers 1, qui est la valeur de la limite même si la fonction elle-même n'est pas définie exactement en x = 0.
Quand une limite n'existe-t-elle pas ?
Une limite n'existe pas lorsque les approches à gauche et à droite divergent (comme avec |x|/x en x = 0), lorsque la fonction croît sans limite vers des infinis opposés de chaque côté (comme avec 1/x en x = 0), ou lorsque la fonction oscille de façon persistante près du point sans se stabiliser vers une seule valeur (comme avec sin(1/x) près de x = 0).
Une fonction peut-elle avoir une limite en un point où elle n'est pas définie ?
Oui. Une limite décrit la valeur dont une fonction s'approche lorsque son entrée se rapproche d'un point, et non la valeur qu'elle vaut à cet endroit, donc les deux questions peuvent avoir des réponses différentes. La fonction sin(x)/x n'est pas définie en x = 0, pourtant sa limite lorsque x s'approche de 0 vaut exactement 1, car les valeurs de la fonction convergent vers 1 des deux côtés même si x = 0 lui-même est exclu de son domaine.
Références
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the formal definition of a limit, one-sided limits, and the squeeze theorem).
- Spivak M. Calculus (4th ed). Publish or Perish, 2008 (rigorous treatment of limits and continuity).
- Thomas GB, Weir MD, Hass J. Thomas' Calculus. Pearson (limits, one-sided limits, and indeterminate forms).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods. dlmf.nist.gov.