El círculo unitario: una guía visual del seno y el coseno

Coordenadas en el círculo unitario: (cos theta, sin theta)

El círculo unitario es un círculo de radio exactamente 1, centrado en el origen (0,0) de un plano de coordenadas. Para cualquier ángulo theta, medido en sentido antihorario a partir del eje x positivo, trazar una línea desde el origen en ese ángulo y hallar dónde cruza el círculo da un punto cuya coordenada x es igual a cos(theta) y cuya coordenada y es igual a sin(theta) -- directamente, sin necesidad de ningún escalado, porque el radio del círculo es 1.

Esta es la definición geométrica que sustenta toda identidad trigonométrica: el coseno es, por definición, la coordenada x en el círculo unitario para un ángulo dado, y el seno es la coordenada y. La tangente se deduce directamente como la razón entre ambos: tan(theta) = sin(theta) / cos(theta), que geométricamente representa la pendiente de la línea desde el origen hasta ese punto del círculo.

Signos por cuadrante: dónde el seno y el coseno son positivos o negativos

El plano de coordenadas se divide en cuatro cuadrantes mediante los ejes x e y, y dado que el seno y el coseno son simplemente las coordenadas y y x de un punto en el círculo unitario, sus signos en cada cuadrante se derivan directamente del signo de las coordenadas en ese cuadrante.

Este patrón a veces se recuerda con la mnemotecnia en inglés «All Students Take Calculus» («Todos los estudiantes toman cálculo»), que indica qué funciones son positivas en cada cuadrante avanzando en sentido antihorario desde el cuadrante I: las tres funciones son positivas en el cuadrante I, solo el seno es positivo en el cuadrante II, solo la tangente es positiva en el cuadrante III, y solo el coseno es positivo en el cuadrante IV.

Ángulos de referencia: cómo hallar valores exactos fuera del cuadrante I

Un ángulo de referencia es el ángulo agudo, siempre entre 0 y 90 grados, formado entre el lado terminal de un ángulo y el punto más cercano del eje x. Los ángulos de referencia permiten hallar el seno, coseno o tangente exactos de cualquier ángulo relacionándolo con uno de los cinco ángulos estándar del cuadrante I, y luego aplicando el signo correcto según el cuadrante en el que realmente se encuentre el ángulo original.

Por ejemplo, un ángulo de 150 grados se encuentra en el cuadrante II, y su ángulo de referencia es 180 - 150 = 30 grados. Dado que el seno es positivo en el cuadrante II, sin(150 grados) es igual a sin(30 grados) positivo = 0,5. El coseno es negativo en el cuadrante II, por lo que cos(150 grados) es igual a cos(30 grados) negativo, aproximadamente -0,8660. El ángulo de referencia aporta la magnitud; el cuadrante aporta el signo.

La tabla estándar de 0/30/45/60/90 grados

Cinco ángulos -- 0, 30, 45, 60 y 90 grados, todos dentro del cuadrante I -- tienen valores de seno y coseno expresables como números exactos en lugar de decimales largos, y forman la base para hallar valores trigonométricos exactos en cualquier otro ángulo estándar mediante ángulos de referencia. La siguiente tabla enumera tanto la forma exacta como la aproximación decimal de cada uno.

Observa la simetría: los valores del seno de 0 a 90 grados (0, 1/2, sqrt(2)/2, sqrt(3)/2, 1) son exactamente los valores del coseno en orden inverso, una consecuencia directa de que el seno y el coseno son funciones complementarias -- sin(theta) = cos(90 grados - theta) para cualquier ángulo theta.

Ángulos coterminales y más allá de una rotación

Los ángulos mayores de 360 grados, o los ángulos negativos, siguen correspondiendo a un punto específico del círculo unitario -- simplemente dan una o más vueltas adicionales alrededor del círculo. Un ángulo coterminal es el ángulo equivalente dentro de una única rotación de 0 a 360 grados, que se halla sumando o restando múltiplos de 360 grados hasta que el resultado caiga en ese rango.

Por ejemplo, un ángulo de 405 grados tiene un ángulo coterminal de 405 - 360 = 45 grados, lo que significa que ambos ángulos apuntan exactamente al mismo lugar del círculo unitario y, por lo tanto, comparten valores idénticos de seno, coseno y tangente. Asimismo, un ángulo de -30 grados tiene un ángulo coterminal de -30 + 360 = 330 grados, que cae en el cuadrante IV.

Preguntas frecuentes

Referencias

1. Weisstein, Eric W. "Unit Circle" and "Reference Angle." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
2. Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (unit circle definitions and the standard angle table).
3. Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (unit circle and reference angles).