❗ Calculadora de Factoriales

Cómo entender la rapidez del crecimiento factorial

El crecimiento factorial deja atrás enseguida al exponencial, tal como muestra la tabla de valores exactos y aproximados.

• 18! (≈6,40 × 10¹⁵) es el mayor factorial que queda por debajo del límite de enteros seguros, puesto que el Number.MAX_SAFE_INTEGER de JavaScript vale 2⁵³ − 1 ≈ 9,007 × 10¹⁵; por eso esta calculadora solo muestra el valor exacto hasta n = 18. Más allá de ese límite, los factoriales siguen siendo representables de forma exacta en doble precisión hasta 22!, porque cada uno arrastra muchos factores de dos, y 23! es el primero que se redondea.
• Entre n = 19 y n = 170 únicamente se muestra la aproximación en notación científica (y ln(n!)), ya que el entero exacto exigiría más precisión de la que admite la aritmética de coma flotante estándar sin una biblioteca de enteros grandes.
• A partir de n = 170, n! supera el mayor valor representable con números de coma flotante de doble precisión (en torno a 1,8 × 10³⁰⁸) y se desborda hacia infinito, de ahí que esta calculadora limite n a 170.

¿Qué es un factorial?

El factorial de un entero no negativo n, que se denota n!, se define como el producto de todos los enteros positivos de 1 a n: n! = n × (n − 1) × (n − 2) × … × 2 × 1. Por ejemplo, 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120. Por convenio, 0! = 1 (un producto vacío, es decir, el elemento neutro de la multiplicación), una definición estándar en toda la combinatoria.

Los factoriales crecen a una velocidad enorme, muy superior a la de cualquier función exponencial de n. 10! = 3.628.800, mientras que 20! ya supera los 2,4 trillones (2,43 × 10¹⁸), más que la cantidad de segundos transcurridos desde el Big Bang. Ese crecimiento desbocado explica por qué los factoriales suelen mostrarse en notación científica para valores grandes de n y por qué los valores enteros exactos dejan de ser prácticos a partir de cierto punto.

Los factoriales son la base de la combinatoria: cuentan de cuántas maneras pueden ordenarse n objetos distintos (las permutaciones) y aparecen en los denominadores de la fórmula del coeficiente binomial con la que se cuentan las selecciones sin orden (las combinaciones). También surgen en la teoría de la probabilidad, en el cálculo (los coeficientes de las series de Taylor) y en numerosas identidades combinatorias cerradas.

Cómo usar esta calculadora de factoriales

1. Introduce un número entero n entre 0 y 170 (170! ronda el mayor factorial que los números de coma flotante de doble precisión pueden representar antes de desbordarse hacia infinito).
2. Consulta el resultado en notación científica, que se muestra siempre, sea cual sea el tamaño de n.
3. Cuando n ≤ 18 se muestra además el valor entero exacto de n!, ya que los factoriales mayores superan el rango de los enteros representables con exactitud en aritmética de doble precisión (2⁵³ ≈ 9,007 × 10¹⁵).
4. Revisa el logaritmo natural de n! (útil para trabajar con factoriales muy grandes sin desbordamiento) y el número de ceros finales de la representación decimal exacta de n!.

Cómo se calculan el factorial, los ceros finales y ln(n!)

La relación recursiva que lo define es n! = n × (n − 1)!, con el caso base 0! = 1. Ejemplo resuelto: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120.

Para valores grandes de n, el logaritmo natural ln(n!) se calcula como la suma Σ ln(k) desde k = 2 hasta n, lo que evita el desbordamiento que provocaría multiplicar el factorial en bruto. La notación científica se deriva después de esa suma mediante el logaritmo decimal: log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10), donde la parte entera da el exponente y la parte fraccionaria (convertida de vuelta con 10^x) da la mantisa.

El número de ceros finales de n! coincide con las veces que 10 divide exactamente a n!. Dado que 10 = 2 × 5 y que en un factorial los factores 2 siempre abundan más que los factores 5, el problema se reduce a contar factores 5 con la fórmula de Legendre: ceros finales = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + … Ejemplo resuelto para 10!: ⌊10/5⌋ = 2 y ⌊10/25⌋ = 0, luego 10! tiene 2 ceros finales, tal como confirma 10! = 3.628.800.

Errores frecuentes

• Olvidar que 0! = 1 y no 0: es un convenio matemático estándar (un producto vacío vale 1), imprescindible para que las fórmulas combinatorias funcionen bien en sus casos límite.
• Suponer que los factoriales pueden calcularse exactamente para cualquier n en aritmética estándar: más allá de n = 22, los valores enteros exactos superan lo que la coma flotante de doble precisión representa sin redondear.
• Confundir n! (factorial) con nⁿ (n elevado a n): el factorial multiplica una sucesión decreciente de enteros hasta 1, mientras que la potencia multiplica n por sí mismo n veces; crecen a ritmos distintos y se separan rápido (5! = 120 frente a 5⁵ = 3125).
• Introducir un número negativo o no entero: en este sentido elemental el factorial solo está definido para enteros no negativos (la función Gamma extiende el concepto a los no enteros, pero es una fórmula distinta y más avanzada).

Preguntas frecuentes

Referencias

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)