المعادلة وحالة الاختبار
تُحسب الفائدة المركبة باستخدام المعادلة A = P(1 + r/n)^(nt)، حيث P هو رأس المال، وr هو المعدل الاسمي السنوي، وn هو عدد فترات التركيب في السنة، وt هو عدد السنوات. n فقط يتغير بين وتيرات التركيب المختلفة؛ أما P وr وt فتبقى ثابتة. هذا يعزل بدقة مقدار مساهمة وتيرة التركيب وحدها.
لمقارنة الوتيرات على أساس متكافئ، نُبقي كل شيء آخر ثابتًا: رأس مال قدره 10,000$، ومعدل اسمي سنوي 5%، ومدة 10 سنوات. الشيء الوحيد الذي يتغير من صف إلى آخر في الجدول أدناه هو عدد مرات إضافة الفائدة.
جدول المقارنة
يستخدم كل صف نفس رأس المال 10,000$ ومعدل 5% الاسمي ومدة 10 سنوات. يوضح عمود المعدل السنوي الفعلي (EAR) العائد السنوي الحقيقي بعد احتساب التركيب.
| وتيرة التركيب | المعدل السنوي الفعلي | الرصيد بعد 10 سنوات |
|---|---|---|
| سنوي (n = 1) | 5.0000% | $16,288.95 |
| نصف سنوي (n = 2) | 5.0625% | $16,386.16 |
| ربع سنوي (n = 4) | 5.0945% | $16,436.19 |
| شهري (n = 12) | 5.1162% | $16,470.09 |
| يومي (n = 365) | 5.1267% | $16,486.65 |
| مستمر | 5.1271% | $16,487.21 |
ما تُظهره الأرقام: عوائد متناقصة
المكسب الناتج عن زيادة تكرار التركيب يتقلص بسرعة مع ارتفاع الوتيرة. الانتقال من التركيب السنوي إلى الشهري يضيف 181.14$ عبر العقد. الانتقال من الشهري إلى اليومي يضيف 16.56$ فقط إضافية، والانتقال من اليومي إلى المستمر — الحد الرياضي الأقصى — يضيف 0.56$ فقط إضافية. توجد سقف صارم (التركيب المستمر) تقترب منه الفائدة اليومية بالفعل إلى أقل من دولار واحد.
الخلاصة العملية هي أن المعدل والأفق الزمني هما العاملان المسيطران. مضاعفة المدة أو كسب جزء بسيط من نقطة مئوية في المعدل يغيّر النتيجة أكثر بكثير من أي تغيير في وتيرة التركيب. عند مقارنة حسابين، فإن المعدل السنوي الفعلي (EAR) — وليس وتيرة التركيب بمعزل عنه — هو الرقم الذي يتيح مقارنة عادلة بينهما.
لماذا تعلن البنوك عن المعدل الاسمي والمعدل السنوي الفعلي منفصلين
المعدل الاسمي 5% المُركّب يوميًا ليس مماثلًا لفائدة بسيطة 5% — فمعدله السنوي الفعلي هو 5.1267%. لهذا تُلزم الجهات التنظيمية المقرضين ومقدمي خدمات الادخار بالإفصاح عن معدل فعلي أو مكافئ سنوي: فهذا يتيح مقارنة منتجين بوتيرتي تركيب مختلفتين برقم واحد صادق. عندما ترى حسابين يعلنان عن نفس المعدل الاسمي، فإن الحساب الأكثر تكرارًا في التركيب يملك معدلًا سنويًا فعليًا أعلى بشكل طفيف، لكن الفارق صغير.
الأسئلة الشائعة
هل التركيب اليومي أفضل بكثير من الشهري؟
بشكل طفيف فقط. على 10,000$ بمعدل 5% خلال 10 سنوات، يعطي التركيب الشهري 16,470.09$ واليومي 16,486.65$ — فرق قدره 16.56$ عبر العقد كاملًا.
ما أقصى ما يمكن أن يضيفه التركيب؟
التركيب المستمر هو الحد الرياضي الأقصى. في حالة الاختبار يصل إلى 16,487.21$، أي 0.56$ فقط أكثر من التركيب اليومي، لذا يكون اليومي عمليًا عند السقف.
ما الذي يهم أكثر من وتيرة التركيب؟
المعدل الاسمي للفائدة ومدة الاستثمار كلاهما له تأثير أكبر بكثير على الرصيد النهائي من عدد مرات تركيب الفائدة.
كيف أقارن بين حسابين بوتيرتي تركيب مختلفتين؟
قارن معدلاتهما السنوية الفعلية (EAR)، وليس معدلاتهما الاسمية أو وتيرة التركيب. يُدمج المعدل السنوي الفعلي أثر التركيب في رقم سنوي واحد يمكن مقارنته مباشرة.
المراجع
- U.S. Securities and Exchange Commission (Investor.gov) — Compound Interest Calculator and definition. https://www.investor.gov/financial-tools-calculators/calculators/compound-interest-calculator
- Consumer Financial Protection Bureau — Annual Percentage Yield (APY) and how compounding is disclosed. https://www.consumerfinance.gov/
- Federal Reserve — Regulation DD (Truth in Savings), disclosure of annual percentage yield. https://www.federalreserve.gov/