积分回答的问题:这条曲线下方有多少面积?
定积分,记作 ∫ₐᵇ f(x) dx,回答的是一个具体的几何问题:从 x = a 到 x = b,函数 f 的图像与 x 轴之间的净有向面积是多少?「净有向」意味着 f(x) 为正(曲线位于 x 轴上方)的区域面积计为正值,而 f(x) 为负(曲线位于 x 轴下方)的区域面积计为负值,并从总和中扣除。
这与求导数是不同的问题——导数衡量的是某一点上的变化率。积分则是在整个区间上累积某个量——面积,这也是为什么每当一个总量是由某个持续变化的速率累积而成时,积分就会自然而然地出现,例如由变化的速度求出总行驶距离,或由变化的生产速率求出累计总产量。
黎曼和:用矩形来近似面积
黎曼和通过以下方式近似曲线下方的面积:把区间 [a, b] 分割成 n 个较小的子区间,在每个子区间上作一个矩形,其高度取该子区间内某一点处的函数值,再把所有矩形的面积相加。三种常见的变体——左黎曼和、右黎曼和与中点黎曼和——区别仅在于每个子区间内用来确定矩形高度的点不同:左端点、右端点,或中点。
随着子区间数量 n 增加,每个矩形都会变得更窄,这种参差不齐的矩形近似也会越来越贴近真实曲线,黎曼和的总面积因而逐渐逼近精确面积。定积分的正式定义,正是黎曼和当 n 趋于无穷大(等价地,当每个矩形的宽度趋于零)时的极限——正是这个极限,使积分成为一个被精确定义的数值,而不仅仅是一种近似。
| 子区间数 (n) | 左黎曼和 | 中点黎曼和 |
|---|---|---|
| 4 | 0.218750 | 0.328125 |
| 8 | 0.273438 | 0.332031 |
| 16 | 0.302734 | 0.333008 |
| 100 | 0.328350 | 0.333325 |
从黎曼和到辛普森法则:本计算器所采用的方法
上表显示,对于 [0, 1] 上的 f(x) = x²,左黎曼和与中点黎曼和都随着子区间数量 n 的增加,逐渐逼近精确值 1/3 ≈ 0.33333333——对该函数而言,中点法收敛的速度明显快于左端点法,这说明并非所有黎曼和变体的收敛速度都相同。
本网站的积分计算器完全不使用矩形;它采用的是自适应复合辛普森法则,这是一种数值积分方法,它在每一对相邻子区间上拟合一段抛物线弧(而不是平顶的矩形),并把这些抛物线下方的面积相加。由于抛物线能比平顶矩形更贴合曲线的弯曲程度,辛普森法则只需比黎曼和少得多的子区间数,就能达到给定的精度——该计算器会反复将子区间数翻倍,直到相邻两次估计值在很小的数值容差范围内保持一致,然后报告这个收敛后的数值。
微积分基本定理,用通俗的方式表述
微积分基本定理把两种乍看之下衡量完全不同事物的微积分运算——导数(瞬时变化率)与定积分(累积面积)——联系了起来,并说明它们互为逆运算。通俗地说:如果 F 是 f 的任意一个原函数(即 F'(x) = f(x)),那么 f 从 a 到 b 的定积分就等于 F(b) − F(a),也就是 F 在该区间上的数值变化量。
正是这个定理,使得许多积分可以在不必逐一累加矩形或抛物线的情况下,通过精确的符号方法求出:只要找到一个原函数公式,该函数的任意定积分就都可以用简单的减法求出。本网站的积分计算器并未采用这条路径——它直接用辛普森法则以数值方式计算积分,事先并不寻找或需要任何原函数公式,这也是它能够对没有简单闭式原函数的函数进行积分的原因之一。
实例演算:∫₀¹ x² dx = 1/3
函数 f(x) = x² 的一个原函数是 F(x) = x³/3,因为由幂法则对 x³/3 求导即可得回 x²。应用微积分基本定理:∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = (1³/3) − (0³/3) = 1/3 − 0 = 1/3 ≈ 0.33333333。
这个精确的符号结果,既与上文中随矩形数量增加而逼近 1/3 的黎曼和表相吻合,也与本计算器在相同积分上下限下会给出的数值辛普森法结果相吻合——三条不同的路径(符号求原函数、黎曼和取极限,以及自适应数值求积)最终都收敛到同一个值 1/3,因为它们计算的其实是同一个净有向面积。
常见问题
定积分表示什么?
定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 表示函数图像与 x 轴之间,从 x = a 到 x = b 的净有向面积。x 轴上方的面积(f 为正处)计为正值,x 轴下方的面积(f 为负处)计为负值,并从总和中扣除。
什么是黎曼和?
黎曼和通过把区间划分为若干较小的子区间、在每个子区间上作一个矩形、再把这些矩形的面积相加,来近似曲线下方的面积。随着子区间数量增多、每个矩形变窄,黎曼和的总面积会逐渐逼近精确面积——定积分的正式定义正是这一过程的极限。
辛普森法则与黎曼和有什么不同?
黎曼和用平顶矩形来近似面积,而辛普森法则则在每一对子区间上拟合一段抛物线弧,并把这些抛物线下方的面积相加。由于抛物线比平顶矩形更能贴合曲线的弯曲程度,辛普森法则通常只需比同等精度的黎曼和少得多的子区间数,就能达到很高的精度。
微积分基本定理用通俗的话来说讲的是什么?
它说的是求定积分(累积面积)与求导数(瞬时变化率)互为逆运算:如果 F 是 f 的一个原函数,那么 f 从 a 到 b 的定积分就等于 F(b) − F(a)。这意味着,一旦知道了原函数公式,许多积分都可以通过简单的减法求出,而不必累加无穷多个矩形。
∫₀¹ x² dx 等于多少,是怎么算出来的?
结果恰好是 1/3(约等于 0.33333333)。利用微积分基本定理,取原函数 F(x) = x³/3:∫₀¹ x² dx = F(1) − F(0) = 1/3 − 0 = 1/3。像黎曼和与辛普森法则这样的数值方法,也会随着划分数量的增加而收敛到同一个值。
参考文献
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (Riemann sums, the definite integral, the Fundamental Theorem of Calculus, and Simpson's rule).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
- Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.