수열 미리보기 이해하기
공차의 부호는 수열이 증가하는지, 감소하는지, 일정하게 유지되는지를 결정합니다. 아래 표는 첫째항이 3인 경우를 보여줍니다.
| 공차 (d) | 거동 | 처음 5개 항 (a₁ = 3) |
|---|---|---|
| d > 0 (예: d = 4) | 증가하는 수열 | 3, 7, 11, 15, 19 |
| d = 0 | 상수 수열 — 모든 항이 a₁과 같음 | 3, 3, 3, 3, 3 |
| d < 0 (예: d = −4) | 감소하는 수열 | 3, −1, −5, −9, −13 |
- 수열 미리보기는 처음 최대 8개 항을 보여줍니다. n이 8보다 크면 줄임표(…)가 표시된 범위를 넘어 수열이 계속됨을 나타내지만, 제n항과 합은 입력한 전체 n에 대해 여전히 정확하게 계산됩니다.
- 등비수열과 달리 등차수열은 n이 커질 때 항이 얼마나 크거나 작아질 수 있는지에 대한 상한이 없으며(d = 0인 경우 제외), 유한한 '무한합'도 존재하지 않습니다. 부분합 Sₙ은 n이 커질수록 한없이 커집니다(d ≠ 0인 경우).
등차수열이란 무엇입니까?
등차수열(또는 산술수열)은 각 항과 그 앞 항의 차가 항상 같은 상수인 순서 있는 수의 나열이며, 이 상수를 공차(d)라고 합니다. 예를 들어 3, 7, 11, 15, 19는 첫째항이 3이고 공차가 4인 등차수열입니다. 각 항이 앞 항보다 4만큼 크기 때문입니다.
공차는 양수(증가하는 수열), 음수(감소하는 수열), 또는 0(모든 항이 첫째항과 같은 상수 수열)일 수 있습니다. 등차수열은 매 단계마다 같은 일정한 양만큼 변하는 모든 과정을 모형화합니다. 예를 들어 매번 같은 금액을 넣는 저축 계획, 좌석 수가 일정하게 늘어나는 객석의 열, 또는 일정한 간격으로 줄어드는 카운트다운 타이머가 여기에 해당합니다.
등차수열에 대해 흔히 묻는 두 가지 양이 있습니다. 특정 항의 값(제n항)과 연속한 여러 항의 합(부분합, 등차급수라고도 함)입니다. 이 계산기는 동일한 세 개의 입력값으로 두 가지를 모두 계산합니다.
이 등차수열 계산기 사용 방법
- 수열의 첫째항(a₁), 즉 시작 값을 입력합니다.
- 공차(d), 즉 다음 항을 얻기 위해 각 항에 더하는 일정한 값을 입력합니다. 감소하는 수열의 경우 음수를 사용합니다.
- 제n항과 합을 구하려는 항의 개수(n)를 입력합니다.
- 제n항, 처음 n개 항의 합, 그리고 수열의 처음 최대 8개 항을 보여주는 미리보기를 확인합니다.
등차수열 공식
등차수열의 제n항은 첫째항에서 시작하여 공차를 (n − 1)번 더하여 구합니다. 첫째항 자체는 더하는 횟수가 0이기 때문입니다: aₙ = a₁ + (n − 1)d. a₁ = 3, d = 4, n = 10인 예제 계산: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
처음 n개 항의 합은 첫째항과 마지막 항, 둘째 항과 끝에서 둘째 항 등을 짝지으면 그 짝의 합(a₁ + aₙ)이 항상 같다는 사실을 이용합니다. 이로부터 닫힌 형태의 합 Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d), 동등하게 Sₙ = (n/2) × (a₁ + aₙ)를 얻습니다. 예제 계산: S₁₀ = (10/2) × (2 × 3 + 9 × 4) = 5 × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
이 합 공식은 수학사의 일화에서 어린 시절의 카를 프리드리히 가우스에게 돌려집니다. 그는 1부터 100까지의 정수를 1+100, 2+99와 같이 짝지어 더해 각 짝의 합이 101인 짝 50개를 얻고 총합 5050을 구했다고 전해집니다. 여기서 사용하는 일반 공식의 바탕에도 같은 짝짓기 논리가 있습니다.
흔한 실수
- 제n항 공식에서 (n − 1) 대신 n을 사용하는 것 — aₙ = a₁ + (n − 1)d이므로 첫째항(n = 1)은 d를 한 번이 아니라 0번 더해야 합니다.
- 공차를 공비와 혼동하는 것 — 등차수열은 매 단계마다 일정한 양을 더하고, 등비수열은 대신 일정한 배수를 곱합니다.
- 합 공식이 모든 항을 나열해야 한다고 가정하는 것 — 닫힌 형태의 공식 Sₙ = (n/2)(2a₁ + (n − 1)d)는 각 항을 하나씩 더하지 않고도 합을 직접 계산합니다.
- 정수가 아닌 항의 개수를 입력하는 것 — n은 항의 위치(1번째, 2번째, 3번째, …)를 나타내는 양의 정수여야 하며 소수 형태의 개수가 아닙니다.
자주 묻는 질문
등차수열의 제n항은 어떻게 구합니까?
공식 aₙ = a₁ + (n − 1)d를 사용합니다. 여기서 a₁은 첫째항, d는 공차, n은 구하려는 항의 번호입니다. a₁ = 3, d = 4, n = 10인 경우: a₁₀ = 3 + (10 − 1) × 4 = 3 + 36 = 39.
등차수열의 합은 어떻게 구합니까?
공식 Sₙ = (n/2) × (2a₁ + (n − 1)d)를 사용하면 각 항을 하나씩 더하지 않고도 처음 n개 항의 합을 구할 수 있습니다. a₁ = 3, d = 4, n = 10인 경우: S₁₀ = (10/2) × (6 + 36) = 5 × 42 = 210.
등차수열과 등비수열의 차이는 무엇입니까?
등차수열은 연속한 항 사이의 차가 일정합니다(각 항 = 앞 항 + d). 등비수열은 연속한 항 사이의 비가 일정합니다(각 항 = 앞 항 × r). 등차수열은 선형으로 증가하고, 등비수열은 공비의 크기가 1이 아닐 때 지수적으로 증가하거나 감소합니다.
공차가 음수이거나 0일 수 있습니까?
가능합니다. 음의 공차는 감소하는 수열을 만듭니다(예: d = −3인 10, 7, 4, 1, −2). 공차가 0이면 모든 항이 첫째항과 같은 상수 수열이 됩니다. 둘 다 유효한 등차수열입니다.
두 항으로부터 공차는 어떻게 구합니까?
어떤 항이든 바로 뒤따르는 항에서 빼면 됩니다: d = aₙ₊₁ − aₙ. 연속하지 않은 두 항 aₘ과 aₙ만 알고 있다면 d = (aₙ − aₘ) ÷ (n − m)을 사용합니다.
참고 자료
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Arithmetic Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Weisstein EW. 'Arithmetic Series.' MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.