로그 결과 이해하기
세 가지 표준 밑은 같은 수에 대해 서로 다른 질문에 답합니다. 아래 표는 x = 100에 대한 값을 보여 줍니다.
| 로그 | 밑 | x = 100일 때의 값 | 주요 용도 |
|---|---|---|---|
| ln | e = 2.71828... | 4.60517 | 미적분학, 연속 성장과 감쇠 |
| log10 | 10 | 2 | 과학적 표기법, 데시벨, pH, 자릿수 규모 |
| log2 | 2 | 6.643856 | 컴퓨터 과학, 정보이론(비트) |
- 로그는 0과 음수에 대해 정의되지 않으며, 밑은 양수이면서 1이 아니어야 합니다.
- b^0 = 1이므로 모든 밑에서 log_b(1) = 0이고, b^1 = b이므로 log_b(b) = 1입니다.
- 진수가 0과 1 사이일 때 로그는 음수가 됩니다. 예를 들어 log_10(0.01) = -2입니다.
- 표기는 분야마다 다릅니다. 수학에서는 밑을 쓰지 않은 'log'가 흔히 ln을 뜻하지만, 공학과 대부분의 계산기에서는 log10을 뜻합니다. ISO 80000-2는 ln, lg, lb라는 명시적 표기를 권장합니다.
로그란 무엇입니까?
밑이 b인 수 x의 로그는 log_b(x)로 쓰며, b를 몇 제곱해야 x가 되는지를 나타내는 지수입니다. 즉 b^y = x이면 log_b(x) = y입니다. 예를 들어 10^2 = 100이므로 log_10(100) = 2이고, 2^3 = 8이므로 log_2(8) = 3입니다. 로그는 거듭제곱의 역연산입니다.
실무에서는 세 가지 밑이 지배적입니다. 자연로그(ln)는 밑이 e(약 2.71828)이며 미적분학, 성장과 감쇠 모형, 자연과학에서 표준으로 쓰입니다. 상용로그(log10)는 과학적 표기법과 데시벨, pH 같은 측정 척도의 바탕이 됩니다. 이진로그(log2)는 알고리즘 분석부터 정보이론까지 컴퓨터 과학 전반에서 비트를 재는 데 사용됩니다.
로그는 양수에 대해서만 정의되며, 밑은 양수이면서 1이 아니어야 합니다. b^y가 0이나 음수가 되는 실수 y는 존재하지 않으므로 log(0)과 음수의 로그는 정의되지 않으며, 1은 몇 제곱해도 항상 1이므로 밑이 1인 경우도 성립하지 않습니다.
이 로그 계산기 사용법
- 로그를 구하려는 수 x를 입력합니다. 반드시 양수여야 합니다.
- 밑 b를 입력합니다. 양수이면서 1이 아니어야 하며, 흔히 쓰이는 값은 10, 2, e(약 2.71828)입니다.
- 밑변환 공식으로 계산된, 밑이 b인 x의 로그를 확인합니다.
- 같은 수의 자연로그, 상용로그, 이진로그가 나란히 표시되므로 함께 비교해 봅니다.
밑변환 공식
모든 로그는 다른 밑의 로그로부터 계산할 수 있습니다: log_b(x) = ln(x) / ln(b). 계산기가 자연로그만으로 임의의 밑의 로그를 구하는 것은 바로 이 밑변환 항등식 덕분입니다.
계산 예제: log_2(8). ln(8) = 2.079442, ln(2) = 0.693147을 구하면 그 몫은 2.079442 / 0.693147 = 3입니다. 검산: 2^3 = 8. 또 다른 예로 10^2 = 100이므로 log_10(100) = 2이며, 같은 입력에 대해 이 계산기는 ln(100) = 4.60517과 log_2(100) = 6.643856도 함께 보여 줍니다.
핵심 대수 항등식은 정의에서 바로 따라 나옵니다. 곱의 로그는 로그의 합이고 log_b(xy) = log_b(x) + log_b(y), 몫의 로그는 로그의 차이며, 거듭제곱의 로그는 지수를 앞으로 끌어냅니다: log_b(x^k) = k log_b(x). 이 규칙들은 곱셈을 덧셈으로 바꾸어 주며, 이것이 바로 로그표가 만들어진 본래의 동기였습니다.
흔한 실수
- 0이나 음수의 로그를 구하려는 것. 로그는 양의 진수에 대해서만 정의됩니다.
- log(x + y)가 log(x) + log(y)와 같다고 가정하는 것. 합의 법칙은 합이 아니라 곱에 적용됩니다: log(xy) = log(x) + log(y).
- 'log'가 어떤 밑을 뜻하는지 혼동하는 것. 계산기와 프로그래밍 언어마다 다릅니다(JavaScript에서 Math.log는 자연로그입니다).
- log_b(x^k)를 (log_b x)^k로 쓰는 것. 거듭제곱 법칙은 지수를 로그의 지수로 올리는 것이 아니라 앞으로 끌어내어 곱하는 것입니다.
- 밑으로 1을 사용하는 것. 1은 몇 제곱해도 1이므로 이 경우 로그는 존재하지 않습니다.
자주 묻는 질문
밑이 10일 때 100의 로그는 얼마입니까?
log_10(100) = 2입니다. 10을 2제곱하면 100이기 때문입니다. 상용로그는 10의 개수를 세는 것이므로 log_10(1000) = 3이고 log_10(0.01) = -2입니다.
계산기에 없는 밑의 로그는 어떻게 계산합니까?
밑변환 공식을 사용합니다: log_b(x) = ln(x) / ln(b), 또는 같은 뜻으로 log_10(x) / log_10(b)입니다. 예를 들어 log_5(125) = ln(125) / ln(5) = 4.828314 / 1.609438 = 3이며, 실제로 5^3 = 125입니다.
ln과 log의 차이는 무엇입니까?
ln은 언제나 밑이 e(약 2.71828)인 자연로그를 뜻합니다. 반면 'log'는 모호합니다. 순수수학에서는 흔히 자연로그를 뜻하지만, 공학과 화학, 그리고 대부분의 휴대용 계산기에서는 밑이 10인 로그를 뜻합니다. ISO 80000-2 표준은 모호함을 피하기 위해 밑 e는 ln, 밑 10은 lg, 밑 2는 lb로 쓸 것을 권장합니다.
음수의 로그는 왜 구할 수 없습니까?
양의 밑을 실수로 거듭제곱해서 음수가 나오는 경우가 없기 때문입니다. b > 0이면 모든 실수 y에 대해 b^y는 양수입니다. 따라서 x <= 0인 경우 log_b(x)는 실수값을 갖지 않습니다. (복소해석학에서는 음수의 로그를 정의할 수 있지만 다가함수이며, 실수값 계산기의 범위를 벗어납니다.)
log2는 어디에 쓰입니까?
이진로그 log_2는 어떤 수에 도달하기까지 몇 번 두 배로 늘려야 하는지를 재며, 그래서 컴퓨터 과학에서 근본적입니다. 정렬된 n개 항목에 대한 이진 탐색은 약 log_2(n)단계가 걸리고, log_2는 서로 다른 n개의 값을 표현하는 데 필요한 비트 수를 알려 줍니다. 예를 들어 log_2(1024) = 10이므로 10비트로 1,024개의 값을 지정할 수 있습니다.
로그 척도란 무엇을 뜻합니까?
로그 척도는 값을 같은 차이가 아니라 같은 비율로 배치합니다. 즉 한 눈금마다 일정한 배수를 곱합니다. 데시벨, 리히터 규모, pH가 로그 척도이며, pH가 1 단위 올라간다는 것은 수소 이온 농도가 10분의 1로 줄어든다는 뜻입니다. 로그 척도는 여러 자릿수에 걸친 양을 하나의 축 위에서 읽을 수 있게 해 줍니다.
참고 자료
- Weisstein, Eric W. "Logarithm." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- ISO 80000-2:2019. Quantities and units — Part 2: Mathematics (standard notation for ln, lg, lb).
- Abramowitz M, Stegun IA (eds). Handbook of Mathematical Functions. National Bureau of Standards, 1964 (Chapter 4: elementary transcendental functions).