수렴과 발산 이해하기
항을 더해 나갈 때 등비급수가 유한한 합으로 수렴하는지는 전적으로 공비의 크기에 달려 있으며, 아래에 요약되어 있습니다.
| 공비 |r| | 항의 거동 | 무한합 |
|---|---|---|
| |r| < 1 (예: r = 0.5) | 항이 0을 향해 작아짐 | 수렴: S∞ = a₁ ÷ (1 − r) |
| |r| = 1 | 항의 크기가 일정하게 유지됨(r = −1이면 부호가 번갈아 나타남) | 발산(유한한 합 없음, a₁ = 0인 자명한 경우 제외) |
| |r| > 1 (예: r = 3) | 항의 크기가 한없이 커짐 | 발산(유한한 합 없음) |
- 수열 미리보기는 처음 최대 8개 항을 보여줍니다. n이 8보다 크면 줄임표(…)가 이후의 항이 더 있음을 나타내지만, 제n항과 유한한 합은 입력한 전체 n에 대해 정확하게 계산됩니다.
- 무한합 결과는 |r| < 1일 때만 표시됩니다. 그 밖의 모든 공비에서는 급수에 유한한 합이 없으므로 계산기는 오해를 부르는 숫자를 표시하는 대신 이 사실을 알립니다.
- 공비가 정확히 0인 경우는 표준적인 등비수열이 아니며(첫째항 이후의 모든 항이 0이 됨), 음의 공비는 매 항마다 부호가 번갈아 바뀌는 수열을 만듭니다.
등비수열이란 무엇입니까?
등비수열(또는 기하수열)은 첫째항 이후의 각 항이 바로 앞 항에 일정한 상수를 곱하여 얻어지는 순서 있는 수의 나열이며, 이 상수를 공비(r)라고 합니다. 예를 들어 2, 6, 18, 54, 162는 첫째항이 2이고 공비가 3인 등비수열입니다. 각 항이 앞 항의 3배이기 때문입니다.
|r| > 1일 때 항의 크기는 한없이 커지고(지수적 증가), 0 < |r| < 1일 때 항은 0을 향해 작아지며(지수적 감소), r = 1일 때는 모든 항이 첫째항과 같고, r이 음수일 때는 항의 부호가 번갈아 나타납니다. 등비수열은 복리, 인구의 배증, 방사성 붕괴, 그리고 어떤 양이 같은 배수로 반복해서 조정되는 모든 과정을 모형화합니다.
등비급수는 등비수열의 항들을 더한 것입니다. 등차급수와 달리 등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 엄격히 작기만 하면 무한히 많은 항까지 확장해도 유한한 합을 가질 수 있습니다. 이는 등차수열에는 대응하는 성질이 없습니다.
이 등비수열 계산기 사용 방법
- 수열의 첫째항(a₁), 즉 시작 값을 입력합니다.
- 공비(r), 즉 다음 항을 얻기 위해 각 항에 곱하는 일정한 배수를 입력합니다. 수렴하는 무한합을 보려면 −1과 1 사이의 값(0 제외)을 사용합니다.
- 제n항과 부분합을 구하려는 항의 개수(n)를 입력합니다.
- 제n항, 처음 n개 항의 합, 무한합(|r| < 1일 때만 표시됨), 그리고 처음 최대 8개 항의 미리보기를 확인합니다.
등비수열 공식
제n항은 첫째항에 공비를 (n − 1)제곱한 값을 곱하여 구합니다: aₙ = a₁ × r^(n−1). a₁ = 2, r = 3, n = 5인 예제 계산: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
처음 n개 항의 합은 r ≠ 1일 때 닫힌 형태의 공식 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)을 사용합니다. 이 공식은 급수에서 비율을 곱한 사본을 빼어 첫째 항과 마지막 항을 제외한 모든 항을 소거하여 유도됩니다. r = 1일 때는 모든 항이 a₁과 같으므로 합은 단순히 Sₙ = a₁ × n입니다. 예제 계산: S₅ = 2 × (3⁵ − 1) ÷ (3 − 1) = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 2 × 242 ÷ 2 = 242.
|r| < 1일 때 n이 한없이 커지면 rⁿ 항은 0을 향해 작아지므로 부분합 공식은 유한한 극한으로 수렴합니다: S∞ = a₁ ÷ (1 − r). 예를 들어 a₁ = 8이고 r = 0.5이면 S∞ = 8 ÷ (1 − 0.5) = 16이며, 8, 4, 2, 1, 0.5, … 의 무한합은 16에 가까워지지만 결코 16을 넘지 않습니다. |r| ≥ 1일 때 무한합은 발산하며(유한한 값이 없음) 이 계산기는 무한합을 표시하지 않습니다.
흔한 실수
- 지수로 (n − 1) 대신 n을 사용하는 것 — 첫째항(n = 1)은 a₁ × r¹이 아니라 a₁ × r⁰ = a₁이므로 지수는 항상 (n − 1)입니다.
- |r| ≥ 1일 때 무한합 공식을 적용하는 것 — 그 경우 급수는 발산하여 유한한 합이 없으며, 공식 a₁ ÷ (1 − r)은 |r| < 1일 때만 적용됩니다.
- 공비를 공차와 혼동하는 것 — 등비수열은 매 단계마다 r을 곱하고, 등차수열은 매 단계마다 d를 더합니다.
- 음의 공비가 부호가 번갈아 바뀌는 수열을 만든다는 점을 잊는 것(예: a₁ = 2, r = −3일 때 2, −6, 18, −54). 일부 학습자는 이를 예상된 거동이 아니라 오류로 오해합니다.
자주 묻는 질문
등비수열의 제n항은 어떻게 구합니까?
공식 aₙ = a₁ × r^(n−1)을 사용합니다. 여기서 a₁은 첫째항, r은 공비, n은 항의 번호입니다. a₁ = 2, r = 3, n = 5인 경우: a₅ = 2 × 3⁴ = 2 × 81 = 162.
등비급수의 합은 어떻게 구합니까?
유한한 개수의 항에 대해서는 r ≠ 1일 때 Sₙ = a₁ × (rⁿ − 1) ÷ (r − 1)을 사용합니다. a₁ = 2, r = 3, n = 5인 경우: S₅ = 2 × (243 − 1) ÷ 2 = 242. |r| < 1인 무한 등비급수에 대해서는 대신 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)을 사용합니다.
무한 등비급수는 언제 합을 가집니까?
무한 등비급수는 공비의 절댓값이 1보다 엄격히 작을 때(|r| < 1)에만 유한한 합으로 수렴합니다. 그 경우 S∞ = a₁ ÷ (1 − r)입니다. |r| ≥ 1이면 항이 0을 향해 작아지지 않으므로 합이 한없이 커지고 급수는 발산합니다.
등비수열과 등차수열의 차이는 무엇입니까?
등비수열은 다음 항을 얻기 위해 일정한 비(r)를 곱하여 지수적인 증가 또는 감소를 만듭니다. 등차수열은 다음 항을 얻기 위해 일정한 차(d)를 더하여 선형적인 증가 또는 감소를 만듭니다. 공비가 1인 경우(상수 수열)가 아니라면 일반적으로 한 수열이 둘 다일 수는 없습니다.
공비가 음수일 수 있습니까?
가능합니다. 음의 공비는 매 항마다 부호가 뒤바뀌는 교대수열을 만듭니다. 예를 들어 a₁ = 2이고 r = −3이면 2, −6, 18, −54, 162가 되어 양수와 음수를 오가면서도 여전히 aₙ = a₁ × r^(n−1)을 따릅니다.
참고 자료
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §1.2 Elementary Algebra: Geometric Progression. dlmf.nist.gov.
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Sequences and series.)
- Stewart J. Calculus: Early Transcendentals. 8th ed. Cengage Learning, 2015. (Geometric series convergence.)