पाइथागोरस प्रमेय क्या बताता है
किसी भी समकोण त्रिभुज में -- जिसमें ठीक एक 90-डिग्री कोण होता है -- कर्ण (समकोण के सामने वाली भुजा) की लंबाई का वर्ग अन्य दो भुजाओं, जिन्हें भुजाएं (लेग्स) कहा जाता है, की लंबाइयों के वर्गों के योग के बराबर होता है। फॉर्मूला के रूप में: a^2 + b^2 = c^2, जहां a और b दो भुजाएं हैं और c कर्ण है। यह संबंध प्राचीन यूनानी गणितज्ञ पाइथागोरस के नाम पर रखा गया है, हालांकि प्रमाण बताते हैं कि यही संख्यात्मक संबंध पाइथागोरस से बहुत पहले बेबीलोनियाई और अन्य प्राचीन गणितज्ञों द्वारा, बिना किसी औपचारिक प्रमाण के, स्वतंत्र रूप से जाना और उपयोग किया जाता था।
यह प्रमेय केवल समतल (यूक्लिडियन) तल पर बने समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है। यह उन त्रिभुजों के लिए लागू नहीं होता जिनमें समकोण न हो -- उनके लिए इसके बजाय अधिक सामान्य कोज्या नियम (लॉ ऑफ कोसाइन्स) की आवश्यकता होती है -- और यह किसी वक्र सतह, जैसे गोले, पर बने त्रिभुज के लिए ठीक-ठीक लागू नहीं होता, जहां ज्यामिति स्वयं भिन्न होती है।
यह क्यों काम करता है: एक क्लासिकल पुनर्व्यवस्था प्रमाण
इस प्रमेय के सबसे प्रसिद्ध प्रदर्शनों में से एक, जिसे अक्सर पुनर्व्यवस्था प्रमाण कहा जाता है, एक ही समकोण त्रिभुज (भुजाओं a और b तथा कर्ण c वाले) की चार समान प्रतियों का उपयोग करता है, जिन्हें (a + b) भुजा वाले एक बड़े वर्ग के अंदर व्यवस्थित किया जाता है। एक तरीके से व्यवस्थित करने पर, चारों त्रिभुज एक छोटे, तिरछे आंतरिक वर्ग को घेर लेते हैं जिसकी भुजा c है, इसलिए बड़े वर्ग का क्षेत्रफल चार त्रिभुजों और उस आंतरिक वर्ग में विभाजित हो जाता है: (a + b)^2 = 4 x (1/2 x a x b) + c^2, जो सरल होकर (a + b)^2 = 2ab + c^2 बनता है।
बाईं ओर को बीजगणितीय रूप से विस्तारित करने पर, (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2। एक ही कुल क्षेत्रफल के दोनों व्यंजकों को एक-दूसरे के बराबर रखने पर: a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2। दोनों पक्षों से 2ab घटाने पर a^2 + b^2 = c^2 शेष रहता है -- पाइथागोरस प्रमेय, जो एक ही वर्ग के क्षेत्रफल की गणना करने के दो तरीकों की तुलना से शुद्ध रूप से व्युत्पन्न होता है। यह विशेष प्रमाण सदियों में प्रकाशित सैकड़ों प्रमाणों में से एक है; एलिशा लूमिस के संग्रह द पाइथागोरियन प्रपोजिशन में इस प्रमेय के 367 अलग-अलग प्रमाण संकलित हैं।
पाइथागोरस त्रिक: 3-4-5 और उससे आगे
पाइथागोरस त्रिक तीन धनात्मक पूर्णांकों a, b और c का एक समूह है जो a^2 + b^2 = c^2 को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है, जिसका अर्थ है कि उन तीन पूर्णांक भुजा-लंबाइयों वाला एक समकोण त्रिभुज बिना किसी पूर्णांकीकरण (राउंडिंग) के मौजूद होता है। सबसे छोटा और सबसे व्यापक रूप से पहचाना जाने वाला त्रिक 3-4-5 है, क्योंकि 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2।
किसी ज्ञात त्रिक का कोई भी पूर्णांक गुणज भी एक मान्य त्रिक होता है -- उदाहरण के लिए, 3-4-5 को दोगुना करने पर 6-8-10 मिलता है, और तिगुना करने पर 9-12-15 मिलता है, दोनों ही a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करते हैं। जो त्रिक किसी छोटे त्रिक के गुणज नहीं होते, जैसे नीचे दिए गए 3-4-5, 5-12-13 और 8-15-17, उन्हें आदिम (प्रिमिटिव) पाइथागोरस त्रिक कहा जाता है।
| भुजा a | भुजा b | कर्ण c |
|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 |
| 5 | 12 | 13 |
| 8 | 15 | 17 |
| 7 | 24 | 25 |
| 9 | 40 | 41 |
| 20 | 21 | 29 |
वास्तविक उपयोग: विकर्ण और दूरियां
क्योंकि किसी आयत का विकर्ण, दो सटीक भुजाओं के साथ मिलकर, एक समकोण त्रिभुज बनाता है, पाइथागोरस प्रमेय सीधे विकर्ण की लंबाई देता है: विकर्ण = (लंबाई^2 + चौड़ाई^2) का वर्गमूल। 6 बाई 8 इकाई मापने वाले आयत का विकर्ण (6^2 + 8^2) का वर्गमूल = (36 + 64) का वर्गमूल = 100 का वर्गमूल = ठीक 10 इकाई होता है -- यह 6-8-10 त्रिक है, जो 3-4-5 का गुणज है।
यही सिद्धांत तीन आयामों में विस्तारित होकर एक आयताकार बॉक्स के स्पेस विकर्ण को देता है, जिसे प्रमेय को दो बार लागू करके ज्ञात किया जाता है: पहले आधार आयत के विकर्ण को ज्ञात करने के लिए, फिर उस विकर्ण को बॉक्स की ऊंचाई के साथ मिलाकर। 12 बाई 9 बाई 8 इकाई मापने वाले बॉक्स का स्पेस विकर्ण (12^2 + 9^2 + 8^2) का वर्गमूल = (144 + 81 + 64) का वर्गमूल = 289 का वर्गमूल = ठीक 17 इकाई होता है। दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा दूरी ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जाने वाला निर्देशांक दूरी फॉर्मूला, d = ((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2) का वर्गमूल, यही प्रमेय है जो दो बिंदुओं के बीच के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अंतरों पर सीधे लागू होता है: बिंदुओं (1,2) और (4,6) के लिए, दूरी (3^2 + 4^2) का वर्गमूल = 25 का वर्गमूल = 5 है।
विलोम (कन्वर्स): समकोण जांचने के लिए 3-4-5 का उपयोग
पाइथागोरस प्रमेय का विलोम भी सत्य है और व्यवहार में अक्सर उपयोग किया जाता है: यदि तीन मापी गई भुजा-लंबाइयां a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करती हैं, तो उनसे बना त्रिभुज सबसे लंबी भुजा के सामने अवश्य ही एक समकोण रखता है, भले ही वह कोण कभी सीधे न मापा गया हो। यह विलोम निर्माण और बढ़ईगीरी (कारपेंट्री) में पारंपरिक 3-4-5 विधि का आधार है, जिसका उपयोग एक वर्ग (90-डिग्री) कोने की जांच करने या उसे सेट करने के लिए किया जाता है: एक किनारे पर 3 इकाई और लंबवत किनारे पर 4 इकाई मापकर, और उन दो चिह्नित बिंदुओं के बीच विकर्ण ठीक 5 इकाई है इसकी पुष्टि करके, यह सुनिश्चित किया जाता है कि कोना वास्तव में समकोण है।
यह इसलिए काम करता है क्योंकि विलोम एक अनूठा परिणाम सुनिश्चित करता है: तीन धनात्मक लंबाइयां जो a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करती हैं, वे केवल एक समकोण त्रिभुज बना सकती हैं, कभी न्यूनकोण या अधिककोण त्रिभुज नहीं, जिसमें समकोण सबसे लंबी भुजा, c, के सामने स्थित होता है। 3-4-5 त्रिक का कोई भी गुणज -- जैसे 6-8-10 या 9-12-15 -- बड़े कोनों की जांच के लिए भी उसी तरह काम करता है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
पाइथागोरस प्रमेय का फॉर्मूला क्या है?
a^2 + b^2 = c^2, जहां a और b किसी समकोण त्रिभुज की दो भुजाएं हैं और c कर्ण है, जो समकोण के सामने वाली भुजा है। यह केवल समतल तल पर बने समकोण त्रिभुजों पर लागू होता है।
पाइथागोरस प्रमेय को कैसे सिद्ध करें?
एक क्लासिकल तरीका, पुनर्व्यवस्था प्रमाण, चार समान समकोण त्रिभुजों को (a + b) भुजा वाले एक वर्ग के अंदर इस तरह व्यवस्थित करता है कि कुल क्षेत्रफल की गणना दो अलग-अलग तरीकों से की जा सके -- एक बार (a + b)^2 के रूप में, और एक बार चार त्रिभुजों और c^2 क्षेत्रफल वाले तिरछे आंतरिक वर्ग के योग के रूप में। इन दोनों क्षेत्रफल व्यंजकों को बराबर रखकर बीजगणितीय रूप से सरल करने पर a^2 + b^2 = c^2 प्राप्त होता है। सैकड़ों वैकल्पिक प्रमाण भी प्रकाशित हुए हैं, जिनमें एलिशा लूमिस का संग्रह भी शामिल है, जो उनमें से 367 का दस्तावेजीकरण करता है।
पाइथागोरस त्रिक क्या है, और सबसे छोटा त्रिक कौन सा है?
पाइथागोरस त्रिक तीन धनात्मक पूर्णांकों a, b और c का एक समूह है जो a^2 + b^2 = c^2 को ठीक-ठीक संतुष्ट करता है। सबसे छोटा और सबसे सामान्य त्रिक 3-4-5 है, क्योंकि 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2। अन्य सामान्य त्रिकों में 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25 और 9-40-41 शामिल हैं।
आयत के विकर्ण को ज्ञात करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग कैसे किया जाता है?
किसी आयत का विकर्ण आयत की लंबाई और चौड़ाई को दो भुजाओं के रूप में लेकर एक समकोण त्रिभुज का कर्ण बनाता है, इसलिए विकर्ण = (लंबाई^2 + चौड़ाई^2) का वर्गमूल। 6-बाई-8 आयत का विकर्ण (36 + 64) का वर्गमूल = 100 का वर्गमूल = ठीक 10 इकाई होता है।
क्या पाइथागोरस प्रमेय वक्र सतहों पर काम करता है?
नहीं। यह प्रमेय केवल समतल (यूक्लिडियन) तल पर बने समकोण त्रिभुजों के लिए ठीक-ठीक लागू होता है। किसी वक्र सतह पर, जैसे गोले की सतह पर, कोणों और भुजा-लंबाइयों के बीच के संबंध एक अलग, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति द्वारा नियंत्रित होते हैं, और 90-डिग्री कोण वाले त्रिभुज के लिए a^2 + b^2 = c^2 अब ठीक-ठीक लागू नहीं होता।
बिल्डर 3-4-5 नियम का उपयोग करके समकोण की जांच कैसे करते हैं?
पाइथागोरस प्रमेय के विलोम के अनुसार, यदि तीन मापी गई लंबाइयां a^2 + b^2 = c^2 को संतुष्ट करती हैं, तो सबसे लंबी लंबाई के सामने वाला कोण ठीक 90 डिग्री होना चाहिए। एक किनारे पर 3 इकाई और लंबवत किनारे पर 4 इकाई चिह्नित करके, फिर उन दो बिंदुओं के बीच की दूरी ठीक 5 इकाई है इसकी पुष्टि करके, एक सच्चे समकोण कोने की पुष्टि होती है -- यह विधि आमतौर पर निर्माण और बढ़ईगीरी में उपयोग की जाती है।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Pythagorean Theorem" and "Pythagorean Triple." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Loomis ES. The Pythagorean Proposition. National Council of Teachers of Mathematics (NCTM), 1968 (a compendium of 367 proofs).
- Euclid. Elements, Book I, Proposition 47 (the classical geometric proof of the theorem).