ज्या नियम बनाम कोज्या नियम: कब कौन सा उपयोग करें

दो नियम, ज्ञात मानों के दो अलग-अलग सेट

हर त्रिभुज जो समकोण त्रिभुज नहीं है -- जिसे तिर्यक (ओब्लीक) त्रिभुज कहा जाता है -- तीन ज्ञात मापों से पूरी तरह हल किया जा सकता है, लेकिन कौन सा फॉर्मूला लागू होता है यह इस बात पर निर्भर करता है कि वास्तव में कौन से तीन माप ज्ञात हैं। ज्या नियम और कोज्या नियम इसके लिए दो सामान्य-उद्देश्य वाले उपकरण हैं, और हर एक ज्ञात मानों के एक अलग संयोजन के लिए उपयुक्त है।

ज्या नियम: दो कोण और एक भुजा (AAS/ASA)

ज्या नियम बताता है कि किसी भी त्रिभुज में, किसी भुजा की लंबाई और उसके ठीक सामने वाले कोण की ज्या का अनुपात तीनों भुजाओं के लिए समान होता है: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C)। दो कोण और कोई एक भुजा दिए जाने पर, तीसरा कोण तुरंत इस तथ्य से मिल जाता है कि त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री होता है, और दो गुम भुजाएं सीधे इस अनुपात से मिल जाती हैं।

वर्कड उदाहरण: कोण A = 40 डिग्री, भुजा a = 15 (कोण A के सामने), और कोण B = 60 डिग्री। चरण 1: कोण C = 180 - 40 - 60 = 80 डिग्री। चरण 2: भुजा b = (a x sin B) / sin A = (15 x sin 60 डिग्री) / sin 40 डिग्री = (15 x 0.8660) / 0.6428, लगभग 20.2094। चरण 3: भुजा c = (a x sin C) / sin A = (15 x sin 80 डिग्री) / sin 40 डिग्री, लगभग 22.9813। त्रिभुज का क्षेत्रफल, 1/2 x a x b x sin C का उपयोग करते हुए, लगभग 1/2 x 15 x 20.2094 x sin(80 डिग्री), लगभग 149.2681 वर्ग इकाई है।

कोज्या नियम: दो भुजाएं और शामिल कोण (SAS), या तीनों भुजाएं (SSS)

कोज्या नियम पाइथागोरस प्रमेय को समकोण रहित त्रिभुजों के लिए सामान्यीकृत करता है: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab x cos(C), जहां C भुजाओं a और b के बीच शामिल कोण है। जब C ठीक 90 डिग्री होता है, cos(C) = 0 और फॉर्मूला ठीक-ठीक पाइथागोरस प्रमेय, a^2 + b^2 = c^2, में सरल हो जाता है।

वर्कड उदाहरण: भुजाएं a = 8 और b = 11, शामिल कोण C = 37 डिग्री के साथ। चरण 1: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 x 8 x 11 x cos(37 डिग्री) = 64 + 121 - 176 x 0.7986, लगभग 185 - 140.55 = 44.45, इसलिए c लगभग 6.6663 है। चरण 2: तीनों भुजाएं ज्ञात होने के बाद, शेष कोण पुनर्व्यवस्थित फॉर्मूले, cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc), से मिलते हैं, जो कोण A लगभग 46.2375 डिग्री और कोण B लगभग 96.7625 डिग्री देता है (C = 37 डिग्री के साथ जोड़ने पर 180 डिग्री, जैसा आवश्यक है)। क्षेत्रफल, 1/2 x a x b x sin(C), लगभग 1/2 x 8 x 11 x sin(37 डिग्री), लगभग 26.4799 वर्ग इकाई है।

SSA अस्पष्ट मामला, ईमानदारी से समझाया गया

जब दो भुजाएं और एक गैर-शामिल कोण ज्ञात हो (SSA) -- उदाहरण के लिए, भुजा a, भुजा b और कोण A, जहां A, a और b के बीच का कोण नहीं है -- ज्या नियम फिर भी लागू किया जा सकता है, लेकिन दिए गए मापों को संतुष्ट करने वाले मान्य त्रिभुजों की संख्या हमेशा एक नहीं होती। विशिष्ट मानों के आधार पर, शून्य त्रिभुज हो सकते हैं (दिया गया कोण और भुजाएं बिल्कुल भी एक बंद त्रिभुज नहीं बना सकते), ठीक एक त्रिभुज, या ठीक दो अलग-अलग त्रिभुज, दोनों मान्य।

निर्णायक कारक ऊंचाई h = b x sin(A) है, जिसकी तुलना भुजा a से की जाती है। यदि a, h से कम है, तो कोई त्रिभुज मौजूद नहीं है। यदि a, h के बराबर है, तो ठीक एक त्रिभुज मौजूद है, जिसमें भुजा a के सामने वाले शीर्ष पर समकोण होता है। यदि h, a से कम है और a, b से कम है, तो दो अलग-अलग त्रिभुज मौजूद हैं। यदि a, b से बड़ा या बराबर है, तो ठीक एक त्रिभुज मौजूद है।

अस्पष्ट मामले का वर्कड उदाहरण: भुजा a = 20, भुजा b = 25, कोण A = 40 डिग्री। यहां h = 25 x sin(40 डिग्री), लगभग 16.0697, और चूंकि 16.0697, 20 से कम है और 20, 25 से कम है, इसलिए दो अलग-अलग त्रिभुज इन मापों को संतुष्ट करते हैं। दोनों को हल करने पर: पहले में कोण B लगभग 53.4641 डिग्री, कोण C लगभग 86.5359 डिग्री और भुजा c लगभग 31.0576 है; दूसरे में कोण B लगभग 126.5359 डिग्री, कोण C लगभग 13.4641 डिग्री और भुजा c लगभग 7.2446 है। दोनों त्रिभुज a = 20, b = 25 और A = 40 डिग्री के बिल्कुल समान प्रारंभिक मानों का उपयोग करते हैं, फिर भी दो वास्तव में भिन्न आकारों का वर्णन करते हैं -- यही कारण है कि SSA मामले को अस्पष्ट कहा जाता है, और यही कारण है कि इसके लिए इस अतिरिक्त जांच की आवश्यकता होती है जो AAS, ASA और SAS को नहीं होती।

व्यवहार में सही फॉर्मूला चुनना

सर्वेक्षण, नेविगेशन और इंजीनियरिंग जैसे क्षेत्रों में, व्यावहारिक मार्गदर्शन यह है कि आदतन किसी एक नियम को डिफ़ॉल्ट रूप से चुनने के बजाय, फॉर्मूला चुनने से पहले यह पहचानें कि वास्तव में कौन से तीन माप उपलब्ध हैं। यदि दो कोण मापे गए हैं (यह तब आम है जब दो निश्चित अवलोकन बिंदुओं से त्रिकोणासन/त्रिभुजन किया जा रहा हो), तो ज्या नियम सीधे और स्पष्ट रूप से लागू होता है। यदि दो दूरियां और उनके बीच का कोण मापा गया है (यह तब आम है जब एक शीर्ष से दो भुजाएं नापी गई हों), तो कोज्या नियम सीधे और स्पष्ट रूप से लागू होता है।

SSA मामला जितना लग सकता है उससे अधिक बार सामने आता है -- उदाहरण के लिए, एक ज्ञात भुजा, एक दूसरी भुजा, और एक ऐसा कोण मापना जो भौतिक रूप से उनके बीच नहीं है -- और चूंकि यह चुपचाप दो मान्य उत्तर दे सकता है, इसलिए जब भी SSA ही उपलब्ध एकमात्र संयोजन हो, तो ऊपर वर्णित a-बनाम-h तुलना की स्पष्ट रूप से जांच करना उचित है, बजाय इसके कि पहला गणना किया गया त्रिभुज ही डेटा के अनुरूप एकमात्र त्रिभुज है यह मान लिया जाए।

अक्सर पूछे जाने वाले सवाल

संदर्भ

1. Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
2. Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
3. Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).