तरीका 1: आधार गुणा ऊंचाई, भाग 2
सबसे जाना-पहचाना त्रिभुज-क्षेत्रफल फॉर्मूला है क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊंचाई, जहां ऊंचाई चुने गए आधार से विपरीत शीर्ष (वर्टेक्स) तक की लंबवत दूरी होती है -- न कि किसी तिरछी भुजा की लंबाई। यह तरीका तब लागू होता है जब आधार और उसकी लंबवत ऊंचाई दोनों ज्ञात हों या सीधे मापी जा सकती हों, जो समकोण त्रिभुजों के लिए और ग्रिड पर या चिह्नित ऊंचाई (altitude) वाले डायग्राम में बने त्रिभुजों के लिए आम है।
वर्कड उदाहरण: एक त्रिभुज का आधार 8 इकाई और लंबवत ऊंचाई 5 इकाई है। फॉर्मूला लागू करने पर: क्षेत्रफल = 1/2 x 8 x 5 = 1/2 x 40 = 20 वर्ग इकाई। इस तरीके में त्रिकोणमिति की कोई आवश्यकता नहीं है और त्रिभुज के कोणों या उसकी अन्य दो भुजाओं की लंबाई की भी कोई जानकारी नहीं चाहिए -- केवल आधार के रूप में चुनी गई एक भुजा और उसके लंबवत मापी गई सीधी-रेखा ऊंचाई की आवश्यकता है।
तरीका 2: हेरॉन का फॉर्मूला, केवल तीन भुजाओं की लंबाई से
जब किसी त्रिभुज की केवल तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो -- और सीधे तौर पर न तो कोई ऊंचाई और न ही कोई कोण दिया गया हो -- तो हेरॉन का फॉर्मूला केवल उन तीन लंबाइयों से क्षेत्रफल की गणना करता है। यह पहले अर्ध-परिमाप (सेमी-पेरीमीटर), s = (a + b + c) / 2 निकालता है, फिर क्षेत्रफल को s(s - a)(s - b)(s - c) के वर्गमूल के रूप में ज्ञात करता है।
वर्कड उदाहरण: एक त्रिभुज की भुजाएं a = 9, b = 10 और c = 11 हैं। चरण 1: अर्ध-परिमाप s = (9 + 10 + 11) / 2 = 30 / 2 = 15 है। चरण 2: क्षेत्रफल = 15 x (15-9) x (15-10) x (15-11) का वर्गमूल = 15 x 6 x 5 x 4 का वर्गमूल = 1800 का वर्गमूल, जो लगभग 42.4264 वर्ग इकाई है। हेरॉन का फॉर्मूला लागू करने से पहले, यह पुष्टि करना उचित है कि दी गई तीन लंबाइयां वास्तव में एक त्रिभुज बनाती हैं: प्रत्येक भुजा अन्य दो के योग से छोटी होनी चाहिए (त्रिभुज असमानता), जिसे 9, 10 और 11 संतुष्ट करते हैं।
तरीका 3: 1/2 x a x b x sin(C), दो भुजाओं और शामिल कोण से
जब किसी त्रिभुज की दो भुजाएं और उनके बीच का कोण (शामिल कोण) ज्ञात हो -- लेकिन कोई लंबवत ऊंचाई न हो -- तो त्रिकोणमितीय क्षेत्रफल फॉर्मूला लागू होता है: क्षेत्रफल = 1/2 x a x b x sin(C), जहां a और b दो ज्ञात भुजाएं हैं और C उनके बीच का कोण है।
वर्कड उदाहरण: एक त्रिभुज की भुजाएं a = 7 और b = 10 हैं, और शामिल कोण C = 40 डिग्री है। फॉर्मूला लागू करने पर: क्षेत्रफल = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 डिग्री) = 35 x sin(40 डिग्री)। चूंकि sin(40 डिग्री) लगभग 0.6428 है, इसलिए क्षेत्रफल लगभग 35 x 0.6428 = 22.4976 वर्ग इकाई है। यह तरीका सर्वेक्षण (सर्वेइंग) और नेविगेशन समस्याओं में विशेष रूप से उपयोगी है, जहां दो मापी गई दूरियां और उनके बीच का कोण अक्सर लंबवत ऊंचाई की तुलना में सीधे प्राप्त करना आसान होता है।
आपको कौन सा तरीका उपयोग करना चाहिए?
तीनों तरीके एक ही समस्या के प्रतिस्पर्धी दृष्टिकोण नहीं हैं -- हर एक ज्ञात मापों के अलग-अलग संयोजन के लिए उपयुक्त है, और उपलब्ध डेटा से मेल खाने वाला तरीका चुनने से अनावश्यक अतिरिक्त चरणों से बचा जा सकता है, जैसे कि पहले एक ऊंचाई या कोण की गणना करना जो सीधे तौर पर दिया ही नहीं गया था।
| ज्ञात मान | सर्वश्रेष्ठ तरीका | फॉर्मूला |
|---|---|---|
| आधार और लंबवत ऊंचाई | आधार x ऊंचाई / 2 | क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊंचाई |
| तीनों भुजाओं की लंबाई (SSS), कोई कोण ज्ञात नहीं | हेरॉन का फॉर्मूला | क्षेत्रफल = sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c)), s = (a+b+c)/2 |
| दो भुजाएं और शामिल कोण (SAS) | त्रिकोणमितीय फॉर्मूला | क्षेत्रफल = 1/2 x a x b x sin(C) |
त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालते समय होने वाली सामान्य गलतियां
आधार-ऊंचाई तरीके में सबसे आम गलती लंबवत ऊंचाई के स्थान पर किसी तिरछी भुजा की लंबाई का उपयोग करना है -- दोनों तभी बराबर होते हैं जब त्रिभुज संयोग से आधार पर समकोण हो, इसलिए अन्य स्थितियों में तिरछी भुजा का उपयोग करने से गणना किया गया क्षेत्रफल बढ़ जाता है। ऊंचाई हमेशा चुने गए आधार पर लंबवत रेखा के साथ मापी जानी चाहिए, भले ही वह रेखा त्रिभुज की किसी वास्तविक खींची गई भुजा से मेल न खाती हो।
त्रिकोणमितीय तरीके में एक आम गलती ऐसे कोण का उपयोग करना है जो वास्तव में दो ज्ञात भुजाओं के बीच शामिल नहीं है -- फॉर्मूला क्षेत्रफल = 1/2 x a x b x sin(C) के लिए आवश्यक है कि C भुजाओं a और b के बीच सीधे स्थित कोण हो, न कि त्रिभुज के अन्य दो कोणों में से कोई एक। ऐसी तीन लंबाइयों पर हेरॉन का फॉर्मूला लागू करना जो त्रिभुज असमानता का उल्लंघन करती हैं (जहां एक भुजा अन्य दो के योग से लंबी है), एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल निकालने का प्रयास करेगा, जो यह संकेत देता है कि ऐसा कोई त्रिभुज मौजूद नहीं है।
अक्सर पूछे जाने वाले सवाल
त्रिभुज के क्षेत्रफल का फॉर्मूला क्या है?
सबसे सामान्य फॉर्मूला है क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊंचाई, जहां ऊंचाई आधार से विपरीत शीर्ष तक की लंबवत दूरी है। जब केवल तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो इसके बजाय हेरॉन का फॉर्मूला क्षेत्रफल देता है; जब दो भुजाएं और शामिल कोण ज्ञात हों, तो क्षेत्रफल = 1/2 x a x b x sin(C) लागू होता है। तीनों फॉर्मूले एक ही त्रिभुज के लिए समान क्षेत्रफल देते हैं।
केवल तीन भुजाओं की लंबाई से त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
हेरॉन के फॉर्मूले का उपयोग करें: अर्ध-परिमाप s = (a + b + c) / 2 की गणना करें, फिर क्षेत्रफल = s(s-a)(s-b)(s-c) का वर्गमूल। भुजाओं 9, 10 और 11 वाले त्रिभुज के लिए, s = 15 और क्षेत्रफल = (15 x 6 x 5 x 4) का वर्गमूल = 1800 का वर्गमूल, जो लगभग 42.4264 वर्ग इकाई है।
दो भुजाओं और एक कोण से त्रिभुज का क्षेत्रफल कैसे निकालें?
त्रिकोणमितीय फॉर्मूला क्षेत्रफल = 1/2 x a x b x sin(C) का उपयोग करें, जहां a और b दो ज्ञात भुजाएं हैं और C उनके बीच शामिल कोण है। भुजाओं 7 और 10 तथा 40-डिग्री के शामिल कोण के लिए, क्षेत्रफल = 1/2 x 7 x 10 x sin(40 डिग्री), जो लगभग 22.4976 वर्ग इकाई है।
क्या ऊंचाई जाने बिना त्रिभुज का क्षेत्रफल निकाला जा सकता है?
हां। यदि केवल तीन भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो, तो हेरॉन का फॉर्मूला बिना किसी ऊंचाई माप के क्षेत्रफल निकाल देता है। यदि दो भुजाएं और उनके बीच का कोण ज्ञात हो, तो त्रिकोणमितीय फॉर्मूला 1/2 x a x b x sin(C) भी ऊंचाई की आवश्यकता से बचता है, क्योंकि शामिल कोण की ज्या (साइन) प्रभावी रूप से उसका स्थान ले लेती है।
आधार-ऊंचाई फॉर्मूले में ऊंचाई का लंबवत होना क्यों जरूरी है?
आधार-ऊंचाई फॉर्मूला क्षेत्रफल = 1/2 x आधार x ऊंचाई उसी आधार और ऊंचाई वाले एक आयत के क्षेत्रफल से निकाला गया है, जिसे विकर्ण रूप से काटा जाता है -- और यह व्युत्पत्ति (डेरिवेशन) तभी सही होती है जब ऊंचाई आधार पर लंबवत रेखा के साथ मापी गई हो। वास्तविक लंबवत ऊंचाई के स्थान पर तिरछी भुजा की लंबाई का उपयोग करने से गलत, बढ़ा हुआ क्षेत्रफल मिलता है।
संदर्भ
- Weisstein, Eric W. "Heron's Formula" and "Triangle Area." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Geometry. Cengage Learning (triangle area formulas and the triangle inequality).
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (the trigonometric area formula, 1/2 ab sin C).