جدول مرجعي للتحويل بين الأسس
يعرض الجدول القيم نفسها مكتوبة بالأسس الأربعة. لاحظ كيف يقابل الرقم السداسي عشري الواحد أربعة أرقام ثنائية، ويقابل الرقم الثماني الواحد ثلاثة.
| عشري | ثنائي | ثماني | سداسي عشري |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 101 | 5 | 5 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 15 | 1111 | 17 | F |
| 16 | 10000 | 20 | 10 |
| 100 | 1100100 | 144 | 64 |
| 255 | 11111111 | 377 | FF |
- تتعامل هذه الحاسبة مع الأعداد الصحيحة غير السالبة حتى حد العدد الصحيح الآمن في حساب الفاصلة العائمة مزدوج الدقة وفق معيار IEEE 754 (2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991)؛ وتُرفض المدخلات الأكبر بدلًا من تقريبها بصمت.
- القيم الكسرية والأعداد السالبة (تمثيل المتمم الثنائي) خارج نطاق هذا المحوّل.
ما هو النظام العددي الثنائي؟
النظام الثنائي نظام عددي موضعي أساسه 2: يكتب كل عدد باستخدام الرقمين 0 و1 فقط، حيث يمثّل كل موضع قوة من قوى الاثنين. وبقراءة العدد الثنائي 1010 من اليمين، تدل أرقامه على 0×1 + 1×2 + 0×4 + 1×8 = 10 في النظام العشري. وتخزّن الإلكترونيات الرقمية المعلومات وتعالجها بالنظام الثنائي لأن أي عنصر دارة له حالتان (تشغيل/إيقاف) يقابل مباشرة رقمًا ثنائيًا واحدًا، أي بِتًا واحدًا.
النظامان السداسي عشري (الأساس 16) والثماني (الأساس 8) رفيقان مختصران للنظام الثنائي. فلأن 16 = 2⁴، يمثّل رقم سداسي عشري واحد أربعة أرقام ثنائية بالضبط، ولأن 8 = 2³، يمثّل الرقم الثماني الواحد ثلاثة أرقام ثنائية. ويستخدم النظام السداسي عشري الأرقام 0–9 إضافة إلى الحروف A–F للقيم من عشرة إلى خمسة عشر؛ فالعدد العشري 255 هو 11111111 في الثنائي، وFF في السداسي عشري، و377 في الثماني.
تتبع جميع الأنظمة الموضعية القاعدة نفسها: العدد المكتوب بالأرقام dₙ…d₁d₀ في الأساس b تساوي قيمته مجموع كل رقم مضروبًا في b مرفوعًا إلى أُس يساوي موضع ذلك الرقم. ولذلك فإن التحويل بين الأسس عملية صياغة بحتة: احسب قيمة الأرقام وفق أساس المصدر للحصول على القيمة، ثم اقسمها تكرارًا على الأساس الهدف لكتابتها من جديد.
كيفية استخدام هذه الحاسبة الثنائية
- اكتب العدد الذي تريد تحويله (حتى 64 رقمًا؛ وتُقبل البادئات مثل 0b أو 0x أو 0o ثم تُتجاهل).
- حدّد الأساس المكتوب به العدد: ثنائي أو عشري أو سداسي عشري أو ثماني.
- اقرأ القيمة العشرية وما يكافئها من تمثيلات ثنائية وسداسية عشرية وثمانية.
- لا تُقبل إلا الأرقام الصالحة في الأساس المحدد؛ فالرقم 8 مثلًا غير صالح في إدخال ثماني.
الرياضيات وراء التحويل بين الأسس
للتحويل إلى النظام العشري، اضرب كل رقم في الأساس مرفوعًا إلى أُس يساوي موضعه (بدءًا من 0 عند اليمين) ثم اجمع النواتج. وللتحويل من النظام العشري، اقسم تكرارًا على الأساس الهدف واقرأ البواقي بترتيب عكسي.
مثال محلول: 1010 في النظام الثنائي تساوي 1×2³ + 0×2² + 1×2¹ + 0×2⁰ = 8 + 2 = 10 في النظام العشري. وكتابة 10 في الأسس الأخرى: 10 ÷ 16 = 0 والباقي 10 ← A في السداسي عشري؛ و10 ÷ 8 = 1 والباقي 2 ← 12 في الثماني.
أخطاء شائعة
- قراءة 10 في أساس آخر على أنها «عشرة» — فالرمز 10 يعني الأساس نفسه في كل نظام موضعي (10₂ = 2، و10₈ = 8، و10₁₆ = 16).
- استعمال أرقام غير موجودة في الأساس المحدد، مثل 8 أو 9 في النظام الثماني، أو حروف بعد F في السداسي عشري.
- الخلط بين أحجام مجموعات البتات: الرقم السداسي عشري الواحد أربعة بتات، والرقم الثماني الواحد ثلاثة بتات، لذا فإن تجميع الأرقام الثنائية بشكل خاطئ يعطي تحويلًا خاطئًا.
- نسيان أن الأصفار البادئة لا تغيّر شيئًا: فكل من 0010₂ و10₂ تساوي 2 في النظام العشري.
الأسئلة الشائعة
كيف أحوّل من الثنائي إلى العشري يدويًا؟
اضرب كل رقم ثنائي في قوة الاثنين الموافقة لموضعه، بدءًا من 0 عند الرقم الأيمن، ثم اجمع النواتج. فمثلًا 1101: 1×8 + 1×4 + 0×2 + 1×1 = 13. وبالقراءة من اليمين إلى اليسار تكون قيم المواضع 1 و2 و4 و8 و16 و32 وهكذا.
كيف أحوّل من العشري إلى الثنائي؟
اقسم العدد على 2 تكرارًا وسجّل كل باقٍ. والنتيجة الثنائية هي البواقي مقروءة بترتيب عكسي. فمثلًا 13: 13÷2 = 6 والباقي 1، و6÷2 = 3 والباقي 0، و3÷2 = 1 والباقي 1، و1÷2 = 0 والباقي 1 — وبالقراءة من الأسفل إلى الأعلى نحصل على 1101.
لماذا تستخدم الحواسيب النظام الثنائي؟
تميّز الدارات الرقمية بين حالتَي جهد بموثوقية عالية، وتقابل كل حالة رقمًا ثنائيًا واحدًا (بِت). وبناء العتاد حول حالتين يجعل التخزين والمنطق بسيطين ومقاومين للضوضاء، ولذلك تمثّل جميع المعالجات والذاكرات السائدة البيانات بالنظام الثنائي على المستوى الفيزيائي، أيًا كانت الصيغة التي يستخدمها المبرمجون فوقه.
فيمَ يُستخدم النظام السداسي عشري؟
النظام السداسي عشري طريقة مختصرة لكتابة الثنائي: فالرقم السداسي عشري الواحد يرمّز أربعة بتات بالضبط، ومن ثم فإن البايت يكون دائمًا رقمين سداسيين عشريين (00–FF). وهو الصيغة المعيارية لعناوين الذاكرة وأكواد الألوان (مثل #FF6600) وعناوين MAC وتفريغات البيانات الخام، لأنه أقصر بكثير من الثنائي مع إمكانية التحويل إليه رقمًا برقم.
ما أكبر عدد تقبله هذه الحاسبة؟
تقتصر المدخلات على 64 رقمًا وعلى القيم التي لا تتجاوز 2⁵³ − 1 = 9,007,199,254,740,991، وهو أكبر عدد صحيح يمكن لصيغة الفاصلة العائمة مزدوجة الدقة وفق IEEE 754 تمثيله بدقة تامة. وبعد هذا الحد تفقد أعداد جافاسكريبت الاعتيادية دقة الأعداد الصحيحة، لذا ترفض الحاسبة الإدخال بدلًا من إعادة نتيجة مقرّبة.
المراجع
- Knuth DE. The Art of Computer Programming, Volume 2: Seminumerical Algorithms, 3rd edition, Addison-Wesley, 1997 — positional number systems and radix conversion.
- IEEE Std 754-2019. IEEE Standard for Floating-Point Arithmetic — double-precision format and exact-integer range.