如何理解你的积分结果
下表列出了几个已知精确值的标准定积分，可以用来检验这个数值计算器在简单函数上的表现是否合理。
| 函数 f(x) | 区间 [a, b] | 精确积分值 |
|---|---|---|
| x | [0, 1] | 0.5 |
| x² | [0, 1] | 0.33333333 (1/3) |
| 1/x | [1, e] | 1 |
| sin(x) | [0, pi] | 2 |
- 本计算器返回的是定积分的数值近似，而不是原函数公式 F(x)——不定积分（求出通用公式加常数 C）是另一种符号运算，本工具并不执行。
- 颠倒上下限会使结果变号：∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx，这是定积分的标准性质，而不是出错的表现。
- 在 [a, b] 内跨越奇点或间断点进行积分——例如 1/x 跨越 x = 0，或 tan(x) 跨越 x = π/2——可能会给出不准确的结果，甚至完全没有结果，因为辛普森法假设被积函数在整个区间上是连续且性质良好的。
- 对于有限区间上的光滑函数，精度非常高，但剧烈振荡或接近奇异的被积函数，对任何数值方法而言都更难精确收敛。
什么是数值定积分？
定积分 ∫ₐᵇ f(x) dx 表示函数图像与 x 轴之间在区间 a 到 b 上的带符号净面积：f(x) 为正的区域计为正值，f(x) 为负的区域计为负值。本计算器直接计算这个数值，不会推导出符号形式的原函数 F(x)——它从不返回像「x³/3 + C」这样的公式；它只返回在你输入的确切上下限下积分的单一数值。
所采用的方法是自适应复合辛普森法：把区间 [a, b] 划分成许多子区间，在每两个相邻子区间上拟合一段抛物线弧，再把这些抛物线下方的面积相加。计算器会不断把子区间的数目加倍，直到相邻两次估计值在很严格的数值容差范围内保持一致，这对光滑连续的函数能给出很高的精度。
本计算器还会给出 f 在 [a, b] 上的平均值，根据积分中值定理，它定义为积分值除以区间宽度，(1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx——也就是在 [a, b] 上要有多高的矩形，其面积才能与积分值相等。
如何使用这个积分计算器
- 输入一个关于 x 的函数，例如 x^2、sin(x)，或 exp(-x^2)。乘法必须用 * 明确写出，乘方用 ^。
- 输入积分区间的下限 a 和上限 b。
- 如果 b 小于 a，计算器会返回从 b 到 a 积分值的相反数——这是上下限颠倒时的标准符号约定。
- 查看定积分的数值，以及在 a 和 b 不相等时，函数在该区间上的平均值。
数值积分背后的公式
复合辛普森法把 ∫ₐᵇ f(x) dx 近似为 (h/3) × [f(x₀) + 4f(x₁) + 2f(x₂) + 4f(x₃) + … + 4f(xₙ₋₁) + f(xₙ)]，其中区间被划分成 n 个宽度为 h = (b − a)/n 的相等子区间，端点之间的系数按 4、2、4、2、……交替。本计算器会反复把 n 加倍，直到相邻估计值收敛为止，从而保证对光滑函数有很高的精度。
f 在 [a, b] 上的平均值来自积分中值定理：f_avg = (1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx。
演示：f(x) = x²，a = 0，b = 1。∫₀¹ x² dx = 1/3 ≈ 0.33333333。由于区间宽度 b − a = 1，平均值就等于积分本身，即 1/3。
常见错误
- 期望得到像「x³/3 + C」这样的符号原函数——本计算器只针对输入的确切上下限，返回定积分的数值，而不是通用的不定积分公式。
- 在奇点或间断点两侧进行积分，例如 1/x 跨越 x = 0，或 tan(x) 跨越 x = π/2——数值方法假设被积函数是连续的，可能给出不准确甚至缺失的结果。
- 把因交换 a 和 b 而产生的符号反转当作错误——∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx 是定积分标准且预期的性质。
- 把定积分（一个单独的数值）和不定积分（原函数，是相差一个常数 C 的一族函数）搞混。
- 以为数值结果大就一定表示面积是大的正数——定积分是带符号的净面积，f(x) 为负的区域会从总和中减去，而不是加进去。
常见问题
这个计算器会给出原函数，比如 x³/3 + C 吗？
不会。本计算器只用数值方法，计算你输入的具体上下限 a 和 b 下定积分的数值。它不进行符号积分，也不返回通用的原函数公式。
这个积分计算器使用什么数值方法？
自适应复合辛普森法：通过在各子区间上拟合抛物线弧并把这些面积相加，来近似曲线下方的面积，并不断细分子区间的数目，直到估计值收敛到很严格的数值容差范围内。
如果我输入的上限比下限小会怎样？
计算器会按上下限从小到大的顺序计算积分，再返回它的相反数，遵循标准约定 ∫ᵦᵃ f(x) dx = −∫ₐᵇ f(x) dx。
平均值结果是什么意思？
f 在 [a, b] 上的平均值是积分值除以区间宽度，(1 / (b − a)) × ∫ₐᵇ f(x) dx——也就是在 [a, b] 上，与曲线下方区域面积相等的矩形应有的高度。
这个计算器能处理区间内有间断点的函数吗？
不太可靠。辛普森法假设被积函数在 [a, b] 上是连续且性质良好的。跨越奇点进行积分，例如 1/x 跨越 x = 0，可能给出不准确的结果，或者完全没有结果。
支持哪些函数和运算符？
sin、cos、tan、asin、acos、atan、sqrt、cbrt、abs、ln（自然对数）、log（以 10 为底的对数）、log2（以 2 为底的对数）、exp、floor、ceil、round、min、max；常数 pi、e、tau；运算符 + − * / % ^；以及变量 x，三角函数按弧度制求值。
参考文献
- Stewart J. Calculus. Cengage Learning (the definite integral, Simpson's rule, and the mean value theorem for integrals).
- Burden RL, Faires JD. Numerical Analysis. Cengage Learning (composite Simpson's rule and its error bounds).
- Atkinson KE. An Introduction to Numerical Analysis. Wiley (numerical integration methods).
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), Chapter 3: Numerical Methods — quadrature. dlmf.nist.gov.