Escolhendo a fórmula certa: ordem e repetição
Quatro fórmulas de contagem distintas se aplicam conforme duas perguntas independentes de sim ou não: a ordem importa, e a repetição é permitida?
| A ordem importa? | Repetição permitida? | Fórmula | Exemplo de situação |
|---|---|---|---|
| Sim | Não | nPr = n! ÷ (n − r)! | Distribuir 1º/2º/3º lugares entre 7 corredores |
| Sim | Sim | nʳ | Criar uma senha de 3 dígitos com os algarismos de 0 a 6, com repetição |
| Não | Não | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | Escolher uma comissão de 3 pessoas entre 7 |
| Não | Sim | C(n+r−1, r) | Escolher 3 bolas entre 7 sabores de sorvete, com repetição |
- nCr é sempre menor ou igual a nPr para os mesmos n e r (mais precisamente, nCr = nPr ÷ r!), porque as combinações reúnem num único caso todas as r! ordenações dos mesmos elementos.
- Quando r = 0, tanto nPr quanto nCr valem 1 por convenção — existe exatamente uma forma de não selecionar nada (a seleção vazia).
- Quando r = n (sem repetição), nPr = n! e nCr = 1 — só há uma maneira de “escolher” todos os n elementos como conjunto sem ordem, mas n! maneiras de dispô-los em ordem.
O que são permutações e combinações?
Uma permutação é uma disposição de elementos em que a ordem importa. O número de permutações de r elementos escolhidos entre n elementos distintos (sem repetição) é escrito nPr e conta arranjos do tipo “primeiro lugar, segundo lugar, terceiro lugar”, em que trocar dois elementos selecionados de posição produz um resultado diferente.
Uma combinação é uma seleção de elementos em que a ordem não importa. O número de combinações de r elementos escolhidos entre n distintos é escrito nCr (também chamado de “n escolhe r” ou coeficiente binomial) e conta agrupamentos como uma comissão ou uma mão de cartas, em que o mesmo conjunto em outra ordem é considerado o mesmo resultado.
A pergunta decisiva é: reorganizar os mesmos elementos selecionados muda o resultado? Se sim (por exemplo, distribuir medalhas de ouro, prata e bronze, ou arrumar livros numa prateleira), use permutações. Se não (por exemplo, escolher uma comissão de 3 pessoas ou receber uma mão de cartas), use combinações. Esta calculadora também informa as variantes “com repetição”, que valem quando o mesmo elemento pode ser escolhido mais de uma vez (como os dígitos de uma senha numérica, ou bolas de sorvete em que sabores repetidos são permitidos).
Como usar esta calculadora de permutação e combinação
- Informe n — o total de elementos distintos disponíveis para escolha.
- Informe r — quantos elementos serão selecionados ou dispostos. r precisa ser menor ou igual a n: se r for maior que n, a calculadora não devolve resultado algum, nem os que permitem repetição.
- Leia as permutações (nPr) se a ordem da seleção importa e a repetição não é permitida, ou as combinações (nCr) se a ordem não importa e a repetição não é permitida.
- Em situações que permitem escolher o mesmo elemento mais de uma vez, use os resultados “com repetição” em vez dos valores padrão de nPr e nCr.
As fórmulas de permutação e combinação
O número de permutações de r elementos escolhidos entre n, sem repetição, é nPr = n! ÷ (n − r)!, equivalente ao produto de r inteiros consecutivos decrescentes a partir de n. Exemplo resolvido com n = 7 e r = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210 — o número de maneiras de distribuir os prêmios distintos de 1º, 2º e 3º lugares entre 7 competidores.
O número de combinações de r elementos escolhidos entre n, sem repetição, é nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!. A divisão elimina as r! ordens possíveis de cada grupo selecionado, já que as combinações não distinguem ordem. Exemplo resolvido com n = 7 e r = 3: 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35 — o número de comissões distintas de 3 pessoas que se pode formar a partir de 7.
As permutações com repetição (cada uma das r posições pode receber, de forma independente, qualquer um dos n elementos) valem simplesmente nʳ. Para n = 7 e r = 3: 7³ = 343 — por exemplo, o número de códigos distintos de 3 dígitos usando os algarismos de 0 a 6 com repetição permitida. Já as combinações com repetição usam a fórmula das “barras e estrelas”, C(n + r − 1, r). Para n = 7 e r = 3: C(9, 3) = 84 — por exemplo, o número de formas de escolher 3 bolas de sorvete entre 7 sabores quando sabores repetidos são permitidos e a ordem não importa.
Erros comuns
- Usar a fórmula de permutação quando a ordem na verdade não importa (ou vice-versa) — verifique se trocar dois elementos selecionados muda o resultado antes de escolher a fórmula.
- Não conferir se a repetição é permitida — “escolher uma senha” (dígitos podem repetir) pede fórmula diferente de “distribuir cartas de um baralho” (sem repetição, as cartas não voltam para o baralho).
- Aplicar nPr ou nCr com r maior que n sem repetição — isso é indefinido, já que não se pode selecionar mais elementos distintos do que existem no conjunto sem repetir algum.
- Confundir “combinações com repetição” (fórmula das barras e estrelas) com nCr simples — as duas dão resultados bem diferentes e se aplicam a situações distintas (com repetição ou sem).
Perguntas frequentes
Qual é a diferença entre permutação e combinação?
Uma permutação conta arranjos em que a ordem importa (nPr = n! ÷ (n−r)!) — por exemplo, classificar 1º, 2º e 3º lugares. Uma combinação conta seleções em que a ordem não importa (nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)) — por exemplo, escolher uma comissão. Para n = 7 e r = 3: 7P3 = 210 (com ordem), mas 7C3 = 35 (sem ordem), porque cada grupo de 3 pessoas pode ser disposto de 3! = 6 formas diferentes, e 210 ÷ 6 = 35.
Como se calcula nCr (n escolhe r)?
Use a fórmula nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!). Para n = 7 e r = 3: 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35. Alternativamente, calcule primeiro nPr (7 × 6 × 5 = 210) e divida por r! (3! = 6): 210 ÷ 6 = 35.
Como se calcula nPr?
Use a fórmula nPr = n! ÷ (n − r)!, que se reduz ao produto de r inteiros consecutivos decrescentes a partir de n. Para n = 7 e r = 3: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210.
Quando devo permitir repetição num problema de permutação ou combinação?
Permita repetição quando o mesmo elemento puder ser selecionado mais de uma vez num único resultado — por exemplo, dígitos de uma senha numérica, ou sabores de sorvete quando o cliente pode repetir o sabor em várias bolas. Não permita repetição quando cada elemento só puder ser usado uma vez — por exemplo, ao distribuir cartas distintas ou atribuir pessoas distintas a cargos.
Quanto vale nPr quando r é igual a n?
Quando r = n (dispor todos os n elementos sem repetição), nPr se reduz a n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!. Isso representa o total de maneiras de dispor todos os n elementos distintos em fila — por exemplo, 5 elementos podem ser totalmente ordenados de 5! = 120 formas.
O que significa “barras e estrelas” nas combinações com repetição?
“Barras e estrelas” é a técnica combinatória padrão para contar combinações com repetição, que resulta na fórmula C(n + r − 1, r). Ela representa os r elementos escolhidos como “estrelas” separadas por “barras” que marcam as fronteiras entre as n categorias, e depois conta as disposições possíveis de estrelas e barras. Para n = 7 e r = 3: C(9, 3) = 84.
Referências
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)