De onde vem a fórmula quadrática (ou fórmula de Bhaskara)
A fórmula quadrática é derivada da equação geral ax^2 + bx + c = 0 (com a diferente de zero) usando uma técnica chamada completar o quadrado. Dividindo cada termo por a, obtém-se x^2 + (b/a)x + c/a = 0; movendo a constante para o outro lado, obtém-se x^2 + (b/a)x = -c/a. Somando (b/2a)^2 a ambos os lados, o lado esquerdo se transforma em um quadrado perfeito: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
Simplificando o lado direito sobre um denominador comum, obtém-se (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2). Extraindo a raiz quadrada de ambos os lados (e permitindo tanto a raiz positiva quanto a negativa), obtém-se x + b/2a = mais ou menos a raiz quadrada de (b^2 - 4ac) / (2a), e isolando x chega-se à fórmula conhecida: x = (-b mais ou menos a raiz quadrada de b^2 - 4ac) / (2a). Cada etapa é álgebra reversível, o que explica por que a fórmula funciona para toda equação quadrática com coeficiente líder diferente de zero, não apenas para as que se fatoram de forma limpa.
O discriminante: o que ele revela antes de resolver
A expressão sob a raiz quadrada, b^2 - 4ac, é chamada de discriminante, e apenas o seu sinal determina que tipo de raízes a equação tem, sem que seja necessário calcular as raízes propriamente ditas. Um discriminante positivo significa que a raiz quadrada é um número real positivo, de modo que o «mais ou menos» produz dois valores reais distintos de x. Um discriminante exatamente igual a zero significa que o termo da raiz quadrada desaparece por completo, de modo que os casos «mais» e «menos» colapsam em um único valor, x = -b / (2a).
Um discriminante negativo significa que a expressão sob a raiz quadrada é negativa, o que não tem raiz quadrada real -- apenas uma raiz imaginária, já que a raiz quadrada de um número negativo é definida como um número real multiplicado por i, onde i é a unidade imaginária que satisfaz i^2 = -1. Nesse caso, a fórmula ainda produz duas respostas, mas elas formam um par de complexos conjugados da forma p + qi e p - qi, em vez de números reais.
| Discriminante (b^2 - 4ac) | Número e tipo de raízes | O que a parábola faz |
|---|---|---|
| Positivo (> 0) | Duas raízes reais distintas | Cruza o eixo x em dois pontos |
| Zero (= 0) | Uma raiz real repetida, x = -b / (2a) | Toca o eixo x em exatamente um ponto (o vértice) |
| Negativo (< 0) | Duas raízes complexas conjugadas, p ± qi | Nunca toca nem cruza o eixo x |
Exemplo prático 1: duas raízes reais distintas (D > 0)
Resolva x^2 - 3x + 2 = 0. Aqui, a = 1, b = -3, c = 2. O discriminante é (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1, que é positivo, então duas raízes reais distintas são esperadas. Aplicando a fórmula: x = (3 mais ou menos a raiz quadrada de 1) / (2 x 1) = (3 mais ou menos 1) / 2. Isso dá x1 = (3 + 1) / 2 = 2 e x2 = (3 - 1) / 2 = 1.
Essas raízes podem ser conferidas fatorando a equação original: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2), que é zero exatamente quando x = 1 ou x = 2, confirmando a resposta da fórmula. Uma verificação adicional usa as fórmulas de Vieta: a soma das raízes deve ser igual a -b/a = 3, e de fato 2 + 1 = 3; o produto deve ser igual a c/a = 2, e de fato 2 x 1 = 2.
Exemplo prático 2: uma raiz real repetida (D = 0)
Resolva x^2 - 4x + 4 = 0. Aqui, a = 1, b = -4, c = 4. O discriminante é (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0, então uma única raiz repetida é esperada. Como o discriminante é zero, a fórmula se simplifica diretamente para x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2.
Essa equação se fatora como (x - 2)^2 = 0, confirmando que x = 2 é a única raiz, contada duas vezes (com multiplicidade 2). Geometricamente, a parábola y = x^2 - 4x + 4 apenas toca o eixo x no seu vértice, (2, 0), em vez de cruzá-lo -- a assinatura visual de um discriminante zero.
Exemplo prático 3: duas raízes complexas conjugadas (D < 0)
Resolva x^2 + 2x + 5 = 0. Aqui, a = 1, b = 2, c = 5. O discriminante é 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16, que é negativo, então não existem raízes reais. Aplicando a fórmula: x = (-2 mais ou menos a raiz quadrada de -16) / (2 x 1). A raiz quadrada de -16 é 4i, já que (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16, portanto x = (-2 mais ou menos 4i) / 2 = -1 mais ou menos 2i.
As duas raízes são, portanto, -1 + 2i e -1 - 2i, um par de complexos conjugados -- ou seja, compartilham a mesma parte real (-1) e têm partes imaginárias de sinais opostos. A parábola y = x^2 + 2x + 5 fica inteiramente acima do eixo x (seu valor mínimo, em x = -1, é 4), o que é a razão gráfica pela qual ela nunca cruza o eixo e, portanto, não tem raízes reais.
Perguntas frequentes
O que é a fórmula quadrática?
A fórmula quadrática resolve qualquer equação da forma ax^2 + bx + c = 0, em que a é diferente de zero, e afirma que x = (-b mais ou menos a raiz quadrada de b^2 - 4ac), tudo dividido por 2a. Ela é derivada completando o quadrado na equação quadrática geral e funciona para toda equação quadrática, se fatore ela em números inteiros ou não.
O que o discriminante revela?
O discriminante, b^2 - 4ac, é a expressão sob a raiz quadrada na fórmula quadrática, e o seu sinal revela o tipo de raízes antes mesmo de resolver a equação. Um discriminante positivo indica duas raízes reais distintas, um discriminante igual a zero indica uma raiz real repetida em x = -b/(2a), e um discriminante negativo indica duas raízes complexas conjugadas e nenhuma solução real.
Como resolver uma equação quadrática com raízes complexas?
Quando o discriminante b^2 - 4ac é negativo, extraia a raiz quadrada do seu valor absoluto e anexe a unidade imaginária i. Para x^2 + 2x + 5 = 0, o discriminante é -16, e a raiz quadrada de -16 é 4i, resultando em raízes x = (-2 mais ou menos 4i) / 2 = -1 mais ou menos 2i -- um par de complexos conjugados.
De onde vem a fórmula quadrática?
Ela vem de completar o quadrado na equação geral ax^2 + bx + c = 0. Dividir por a, isolar a constante e somar (b/2a)^2 a ambos os lados transforma o lado esquerdo em um quadrado perfeito, (x + b/2a)^2. Extrair a raiz quadrada de ambos os lados e isolar x produz x = (-b mais ou menos a raiz quadrada de b^2 - 4ac) / (2a).
Uma equação quadrática pode ter exatamente uma solução?
Sim, quando o discriminante é exatamente igual a zero. Nesse caso, o «mais ou menos» da fórmula colapsa em um único valor, x = -b / (2a), chamado de raiz repetida. Por exemplo, x^2 - 4x + 4 = 0 tem discriminante 16 - 16 = 0 e a raiz repetida única x = 2, já que a equação se fatora como (x - 2)^2 = 0.
Referências
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).