角度单位换算表
每个单位占整圈的比例,以及它在度和弧度下的数值。
| 单位 | 度 | 弧度 | 占整圈的比例 |
|---|---|---|---|
| 1 圈 | 360 | 6.2831853 | 1 |
| 1 度 | 1 | 0.017453293 | 1/360 |
| 1 百分度 | 0.9 | 0.015707963 | 1/400 |
| 1 弧度 | 57.295780 | 1 | 1/(2π) |
| 1 角分 | 0.016666667 | 0.00029088821 | 1/21,600 |
| 1 角秒 | 0.00027777778 | 0.0000048481368 | 1/1,296,000 |
| 1 毫弧度 | 0.057295780 | 0.001 | 1/(2000π) |
- 本表中的所有系数都按定义精确。所显示的小数值是四舍五入过的,但支撑它们的关系——每圈 360 度、400 百分度和 2π 弧度——不带任何测量不确定度。
- 这里使用的毫弧度是真正的角度毫弧度,即 1/1000 弧度。若干射击项目使用略有不同的“密位”:北约密位把整圈分成 6,400 份而不是 6,283.19 份,因此换算前请确认瞄准镜或分划板指的是哪一种。
- 电子表格和编程语言中的三角函数几乎都要求弧度。传给它们度数,是几何计算悄然出错最常见的原因之一。
常见的角度单位有哪些?
角度衡量的是旋转,每个单位都是整圈的一个分数。度把整圈分成 360 份,这一约定继承自巴比伦天文学,之所以沿用至今,是因为 360 能被非常多的整数整除。弧度把整圈分成 2π 份,是国际单位制的单位:一弧度是所对弧长等于半径的角。
弧度并非任意选择。微积分以它为前提——只有当 x 以弧度为单位时,sin x 的导数才等于 cos x——弧长与扇形面积公式同样如此,所以以度输入的角必须先换算,这些公式才成立。
百分度,也叫 gon,把整圈分成 400 份,于是直角恰好是 100 gon。它用于测量学,尤其在欧洲大陆。角分和角秒把度按 60 和 3,600 细分,供天文与航海使用;毫弧度用于光学和弹道学,在那里一毫弧度在一千米处大约张开一米。
如何使用这个角度换算器
- 输入你要换算的角度。允许负值:方位或旋转可以朝任一方向计量。
- 选择它的单位:度、弧度、百分度、圈、角分、角秒或毫弧度。
- 一次读取它在其他所有单位下的等值。
- 凡是要代入三角函数、导数或弧长计算的数值,都请使用弧度。
角度换算器背后的换算系数
数值先换算成弧度,再由此换算到每个目标单位。由于整圈同时等于 2π 弧度、360 度、400 百分度和 1 圈,所有系数都由这些恒等式精确导出。
计算示例:45° 换成弧度是 45 × π/180 = π/4 = 0.78539816 rad。换成百分度:45 × 400/360 = 恰好 50 gon。换成圈:45/360 = 恰好 0.125。换成角秒:45 × 3,600 = 恰好 162,000。
常见错误
- 把度数传给要求弧度的三角函数。如果把 30 当作弧度,sin(30) 等于 −0.988,而不是你想要的 0.5。
- 把角度毫弧度(1/1000 弧度,每圈 6,283.19)与北约密位(每圈 6,400)混为一谈。两者相差约 1.9%。
- 把角分读成时间上的分钟。一角分是 1/60 度;这里的符号 ′ 和 ″ 表示角度,而非时长。
- 以为直角在任何单位下都是 90。它是 90°,但等于 100 gon、π/2 rad 和 0.25 圈。
常见问题
1 弧度等于多少度?
57.295780 度,即 180/π。这一关系源于整圈既是 360 度又是 2π 弧度,因此一弧度等于 360/(2π) = 180/π 度。反向换算是 1° = π/180 ≈ 0.017453293 rad。
数学家为什么用弧度而不用度?
因为微积分只有在弧度下才干净利落。sin x 的导数为 cos x,以及小角近似 sin x ≈ x,都只在 x 以弧度计量时成立。弧长 (rθ) 与扇形面积 (½r²θ) 同样以此为前提。若改用度,这些式子都会多出一个 π/180 的因子。
百分度用在什么地方?
主要用于欧洲大陆的测量学。把整圈分成 400 份使直角恰好为 100 gon,于是象限和坡度都落在整数上——读经纬仪时很方便。它也叫 gon 或新度。
一度有多少角秒?
3,600。一度分成 60 角分,每角分再分成 60 角秒,于是每度有 3,600 角秒,整圈有 1,296,000 角秒。天文学家使用这些细分,是因为天体位置所需的分辨率远高于度所能提供的。
从实用角度看,毫弧度是什么?
千分之一弧度,在一千米处几乎恰好张开一米——正是这一性质使它在光学和测距中好用。需要注意的是,某些射击项目使用定义为 1/6400 圈的“密位”,相差约 1.9%。
参考文献
- Bureau International des Poids et Mesures (BIPM). The International System of Units (SI Brochure), 9th edition, 2019 — the radian as the coherent SI unit of plane angle, and the degree, minute and second accepted for use with the SI.
- NIST Special Publication 811 (Thompson & Taylor). Guide for the Use of the International System of Units (SI), 2008 — plane-angle conversion factors.