올바른 공식 고르기: 순서와 중복
서로 독립적인 두 가지 예/아니오 질문, 즉 순서가 중요한가와 중복이 허용되는가에 따라 네 가지 서로 다른 계수 공식이 적용됩니다.
| 순서가 중요한가? | 중복이 허용되는가? | 공식 | 예시 상황 |
|---|---|---|---|
| 예 | 아니오 | nPr = n! ÷ (n − r)! | 7명의 주자에게 1등/2등/3등 수여하기 |
| 예 | 예 | nʳ | 0–6의 숫자로 반복을 허용해 세 자리 PIN 만들기 |
| 아니오 | 아니오 | nCr = n! ÷ (r!(n−r)!) | 7명 중에서 3인 위원회 선정하기 |
| 아니오 | 예 | C(n+r−1, r) | 7가지 아이스크림 맛에서 반복을 허용해 3스쿱 고르기 |
- 같은 n과 r에 대해 nCr은 언제나 nPr보다 작거나 같습니다(정확히는 nCr = nPr ÷ r!). 조합은 같은 대상들의 r!가지 순서를 모두 하나로 묶어 세기 때문입니다.
- r = 0일 때 nPr과 nCr은 관례에 따라 모두 1입니다. 아무것도 고르지 않는 방법, 즉 공집합 선택이 정확히 한 가지 있기 때문입니다.
- r = n일 때(중복 없음) nPr = n!이고 nCr = 1입니다. n개 전체를 순서 없는 집합으로 '고르는' 방법은 한 가지뿐이지만, 전체를 순서대로 배열하는 방법은 n!가지이기 때문입니다.
순열과 조합이란 무엇입니까?
순열은 순서가 중요한 배열입니다. 서로 다른 n개의 집합에서 r개를 뽑아 만드는 순열의 수(중복 없음)는 nPr로 쓰며, '1등, 2등, 3등'처럼 뽑힌 두 대상의 자리를 바꾸면 서로 다른 결과가 되는 배열을 셉니다.
조합은 순서가 중요하지 않은 선택입니다. 서로 다른 n개에서 r개를 고르는 조합의 수는 nCr로 쓰며('n개 중 r개 선택' 또는 이항계수라고도 합니다), 위원회 구성이나 카드 패처럼 같은 대상들이 다른 순서로 놓여도 같은 결과로 보는 묶음을 셉니다.
구분의 핵심 질문은 '뽑은 대상들의 순서를 바꾸면 다른 결과가 되는가?'입니다. 그렇다면(예: 금·은·동메달 수여, 책을 책장에 배열하기) 순열을 사용합니다. 그렇지 않다면(예: 3인 위원회 선정, 카드 패 고르기) 조합을 사용합니다. 이 계산기는 같은 대상을 두 번 이상 고를 수 있을 때 적용되는 '중복 허용' 변형도 함께 제시합니다(예: PIN의 자릿수 고르기, 같은 맛을 반복해도 되는 아이스크림 스쿱 고르기).
이 순열 및 조합 계산기 사용 방법
- n을 입력합니다 — 선택할 수 있는 서로 다른 대상의 전체 개수입니다.
- r을 입력합니다 — 선택하거나 배열할 대상의 개수입니다. r은 n보다 작거나 같아야 하며, r이 n보다 크면 중복 허용 결과를 포함해 어떤 결과도 표시되지 않습니다.
- 선택 순서가 중요하고 중복이 허용되지 않으면 순열(nPr)을, 순서가 중요하지 않고 중복이 허용되지 않으면 조합(nCr)을 확인합니다.
- 같은 대상을 두 번 이상 고를 수 있는 상황에서는 표준 nPr/nCr 값 대신 '중복 허용' 결과를 사용합니다.
순열과 조합의 공식
n개에서 r개를 중복 없이 뽑는 순열의 수는 nPr = n! ÷ (n − r)!이며, 이는 n에서 시작해 하나씩 줄어드는 r개의 연속한 정수의 곱과 같습니다. n = 7, r = 3인 계산 예: 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210이며, 이는 7명의 참가자에게 서로 다른 1등, 2등, 3등 상을 주는 경우의 수입니다.
n개에서 r개를 중복 없이 고르는 조합의 수는 nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) = nPr ÷ r!입니다. 조합은 순서를 구분하지 않으므로, 뽑힌 각 묶음을 배열하는 r!가지 순서를 나누어 없애는 것입니다. n = 7, r = 3인 계산 예: 7C3 = 210 ÷ 3! = 210 ÷ 6 = 35이며, 이는 7명에서 만들 수 있는 서로 다른 3인 위원회의 수입니다.
중복을 허용하는 순열(r개의 자리 각각에 n개 중 무엇이든 독립적으로 놓을 수 있는 경우)은 간단히 nʳ입니다. n = 7, r = 3이면 7³ = 343이며, 예를 들어 0–6의 숫자로 반복을 허용해 만드는 서로 다른 세 자리 코드의 수입니다. 중복을 허용하는 조합은 '별과 막대(stars and bars)' 공식 C(n + r − 1, r)을 사용합니다. n = 7, r = 3이면 C(9, 3) = 84이며, 예를 들어 같은 맛을 반복해도 되고 순서를 따지지 않을 때 7가지 맛 중에서 아이스크림 3스쿱을 고르는 경우의 수입니다.
흔히 하는 실수
- 실제로는 순서가 중요하지 않은데 순열 공식을 사용하는 것(또는 그 반대) — 공식을 고르기 전에 뽑은 두 대상의 자리를 바꾸었을 때 결과가 달라지는지 확인해야 합니다.
- 중복이 허용되는지 확인하지 않는 것 — 'PIN 고르기'(숫자가 반복될 수 있음)는 '덱에서 카드 나누어 주기'(중복 없음, 카드가 덱으로 돌아가지 않음)와 서로 다른 공식이 필요합니다.
- 중복이 허용되지 않는데 r이 n보다 큰 상태로 nPr이나 nCr을 적용하는 것 — 어떤 대상을 반복하지 않고서는 집합에 존재하는 것보다 많은 서로 다른 대상을 고를 수 없으므로 이는 정의되지 않습니다.
- '중복조합'(별과 막대 공식)을 일반 nCr과 혼동하는 것 — 두 값은 결과가 크게 다르며 서로 다른 상황(중복 허용 여부)에 적용됩니다.
자주 묻는 질문
순열과 조합의 차이는 무엇입니까?
순열은 순서가 중요한 배열을 셉니다(nPr = n! ÷ (n−r)!). 예를 들어 1등, 2등, 3등의 순위를 매기는 경우입니다. 조합은 순서가 중요하지 않은 선택을 셉니다(nCr = n! ÷ (r!(n−r)!)). 예를 들어 위원회를 구성하는 경우입니다. n = 7, r = 3이면 7P3 = 210(순서 있음)이지만 7C3 = 35(순서 없음)입니다. 3명으로 이루어진 각 묶음을 3! = 6가지 서로 다른 순서로 배열할 수 있고, 210 ÷ 6 = 35이기 때문입니다.
nCr(n개 중 r개 선택)은 어떻게 계산합니까?
nCr = n! ÷ (r! × (n − r)!) 공식을 사용합니다. n = 7, r = 3이면 7C3 = 7! ÷ (3! × 4!) = 5040 ÷ (6 × 24) = 5040 ÷ 144 = 35입니다. 같은 결과로, 먼저 nPr을 구하고(7 × 6 × 5 = 210) r!(3! = 6)로 나누어도 됩니다. 즉 210 ÷ 6 = 35입니다.
nPr은 어떻게 계산합니까?
nPr = n! ÷ (n − r)! 공식을 사용하며, 이는 n에서 시작해 하나씩 줄어드는 r개의 연속한 정수의 곱으로 정리됩니다. n = 7, r = 3이면 7P3 = 7 × 6 × 5 = 210입니다.
순열이나 조합 문제에서 중복은 언제 허용해야 합니까?
하나의 결과 안에서 같은 대상을 두 번 이상 고를 수 있을 때 중복을 허용합니다. 예를 들어 PIN 코드의 숫자나, 손님이 여러 스쿱에 같은 맛을 고를 수 있는 아이스크림 맛이 그렇습니다. 각 대상을 한 번만 사용할 수 있을 때는 중복을 허용하지 않습니다. 예를 들어 서로 다른 트럼프 카드를 나누어 주거나 서로 다른 사람에게 각기 다른 역할을 배정하는 경우입니다.
r이 n과 같을 때 nPr은 얼마입니까?
r = n일 때(중복 없이 n개 전체를 배열할 때) nPr은 n! ÷ (n − n)! = n! ÷ 0! = n! ÷ 1 = n!으로 정리됩니다. 이는 서로 다른 n개 전체를 한 줄로 배열하는 총 경우의 수를 나타냅니다. 예를 들어 5개의 대상은 5! = 120가지로 모두 배열할 수 있습니다.
중복조합에서 '별과 막대'는 무슨 뜻입니까?
'별과 막대(stars and bars)'는 중복을 허용하는 조합을 세는 표준 조합론 기법으로, C(n + r − 1, r) 공식을 제공합니다. 뽑은 r개를 '별'로 나타내고 n개의 범주 사이의 경계를 '막대'로 표시한 뒤, 별과 막대의 배열 수를 세는 방식입니다. n = 7, r = 3이면 C(9, 3) = 84입니다.
참고 자료
- Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Permutations, combinations, and the stars-and-bars method.)
- NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §26.1–26.3 Combinatorial Analysis. dlmf.nist.gov.
- Feller W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1. 3rd ed. Wiley, 1968. (Classic treatment of permutations and combinations.)