❗ 계승 계산기

계승이 얼마나 빠르게 증가하는지 이해하기

아래 표의 정확한 값과 근삿값에서 볼 수 있듯이, 계승의 증가 속도는 지수적 증가를 금세 앞지릅니다.

• 18!(약 6.40 × 10¹⁵)은 안전 정수 한계보다 작은 가장 큰 계승입니다. JavaScript의 Number.MAX_SAFE_INTEGER가 2⁵³ − 1 ≈ 9.007 × 10¹⁵이기 때문이며, 따라서 이 계산기는 n = 18까지만 정확한 값을 표시합니다. 다만 그 한계를 넘어서도 계승은 22!까지 배정밀도 부동소수점 수로 정확히 표현됩니다. 계승마다 2의 인수가 많이 들어 있기 때문이며, 반올림이 생기는 첫 계승은 23!입니다.
• n이 19부터 170까지일 때는 과학적 표기 근삿값과 ln(n!)만 표시됩니다. 정확한 정수를 나타내려면 큰 정수 라이브러리 없이는 표준 부동소수점 연산이 지원하는 것보다 더 높은 정밀도가 필요하기 때문입니다.
• n = 170을 넘어서면 n!이 표준 배정밀도 부동소수점 수로 표현할 수 있는 최댓값(약 1.8 × 10³⁰⁸)을 초과하여 무한대로 넘치므로, 이 계산기는 n의 상한을 170으로 제한합니다.

계승이란 무엇입니까?

음이 아닌 정수 n의 계승은 n!으로 표기하며, 1부터 n까지의 모든 양의 정수를 곱한 값으로 정의됩니다. 즉 n! = n × (n − 1) × (n − 2) × ... × 2 × 1입니다. 예를 들어 5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120입니다. 정의에 따라 0! = 1이며(곱셈의 항등원인 공곱), 이는 조합론 전반에서 사용되는 표준 관례입니다.

계승은 매우 빠르게 증가하며, n에 대한 지수함수보다도 훨씬 빠릅니다. 10! = 3,628,800이지만 20!은 이미 240경(2.43 × 10¹⁸)을 넘어서며, 이는 빅뱅 이후 흐른 초의 수보다도 큽니다. 이처럼 폭발적인 증가 때문에 n이 커지면 계승을 보통 과학적 표기로 나타내며, 일정 수준을 넘어서면 정확한 정수 값을 표시하는 것이 현실적이지 않게 됩니다.

계승은 조합론의 토대입니다. 계승은 서로 다른 n개의 대상을 순서대로 배열하는 경우의 수(순열)를 세며, 순서를 따지지 않는 선택의 수(조합)를 세는 이항계수 공식의 분모로도 등장합니다. 또한 확률론, 미적분학(테일러 급수의 계수), 그리고 여러 조합론적 항등식의 닫힌 형태에도 나타납니다.

이 계승 계산기 사용 방법

1. 0 이상 170 이하의 정수 n을 입력합니다(170!은 표준 배정밀도 부동소수점 수가 무한대로 넘치기 전에 표현할 수 있는 가장 큰 계승에 가깝습니다).
2. n의 크기와 관계없이 항상 표시되는 과학적 표기 결과를 확인합니다.
3. n이 18 이하이면 n!의 정확한 정수 값도 함께 표시됩니다. 그보다 큰 계승은 표준 배정밀도 연산에서 정확히 표현할 수 있는 정수의 범위(2⁵³ ≈ 9.007 × 10¹⁵)를 넘어서기 때문입니다.
4. n!의 자연로그(아주 큰 계승을 넘침 없이 다룰 때 유용합니다)와 n!을 정확한 십진수로 나타냈을 때의 끝자리 0의 개수를 확인합니다.

계승, 끝자리 0, ln(n!)을 계산하는 방법

계승을 정의하는 재귀 관계는 n! = n × (n − 1)!이며, 기저 조건은 0! = 1입니다. 계산 예: 5! = 5 × 4! = 5 × 4 × 3! = 5 × 4 × 3 × 2! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 × 0! = 120 × 1 = 120입니다.

n이 클 때 자연로그 ln(n!)은 k = 2부터 n까지의 합 Σ ln(k)로 계산합니다. 이렇게 하면 계승 자체를 직접 곱할 때 발생하는 넘침을 피할 수 있습니다. 이어서 상용로그를 이용해 과학적 표기를 유도합니다. 즉 log₁₀(n!) = ln(n!) ÷ ln(10)이며, 정수 부분이 지수가 되고 소수 부분을 10^x로 되돌린 값이 가수가 됩니다.

n!의 끝자리 0의 개수는 10이 n!을 나머지 없이 나누는 횟수와 같습니다. 10 = 2 × 5이고 계승에서는 인수 2가 인수 5보다 언제나 더 많으므로, 결국 르장드르 공식을 이용해 인수 5의 개수를 세는 문제로 귀결됩니다. 즉 끝자리 0의 개수 = ⌊n/5⌋ + ⌊n/25⌋ + ⌊n/125⌋ + ... 입니다. 10!에 대한 계산 예: ⌊10/5⌋ = 2, ⌊10/25⌋ = 0이므로 10!의 끝자리 0은 2개이며, 10! = 3,628,800으로 확인됩니다.

흔히 하는 실수

• 0! = 1이며 0이 아니라는 점을 잊는 것 — 이는 표준적인 수학적 관례이며(공곱은 1과 같습니다), 조합론 공식이 경계 조건에서도 올바르게 작동하는 데 반드시 필요합니다.
• 표준 연산에서 임의로 큰 n에 대해 계승을 정확히 계산할 수 있다고 가정하는 것 — n = 22을 넘어서면 정확한 정수 값이 배정밀도 부동소수점 수가 반올림 없이 표현할 수 있는 범위를 벗어납니다.
• n!(계승)과 nⁿ(n의 n제곱)을 혼동하는 것 — 계승은 1까지 하나씩 줄어드는 정수 수열을 곱하는 반면, 거듭제곱은 n을 n번 곱합니다. 두 값은 증가 속도가 달라 빠르게 벌어집니다(5! = 120인 반면 5⁵ = 3125).
• 음수나 정수가 아닌 수를 입력하는 것 — 이 초등적인 의미에서 계승은 음이 아닌 정수에 대해서만 정의됩니다(감마 함수가 이 개념을 정수가 아닌 수까지 확장하지만, 그것은 별개의 더 고급 공식입니다).

자주 묻는 질문

참고 자료

1. NIST Digital Library of Mathematical Functions (DLMF), §5.1 Gamma Function: Factorial Function. dlmf.nist.gov.
2. Rosen KH. Discrete Mathematics and Its Applications. 8th ed. McGraw-Hill, 2018. (Factorials and combinatorics.)
3. Graham RL, Knuth DE, Patashnik O. Concrete Mathematics. 2nd ed. Addison-Wesley, 1994. (Legendre's formula for factors in n!.)