두 법칙, 서로 다른 두 가지 조합의 알고 있는 값
직각삼각형이 아닌 모든 삼각형 -- 「빗각삼각형」이라 부름 -- 은 세 가지 측정값만 알고 있으면 완전히 풀 수 있지만, 어떤 공식이 적용되는지는 정확히 어떤 세 측정값을 알고 있는지에 달려 있습니다. 사인 법칙과 코사인 법칙은 이를 위한 두 가지 범용 도구이며, 각각 서로 다른 조합의 알고 있는 값에 적합합니다.
| 알고 있는 값 | 방법 | 비고 |
|---|---|---|
| 두 각 + 임의의 한 변 (AAS 또는 ASA) | 사인 법칙 | 항상 정확히 하나의 해 |
| 두 변 + 사잇각 (SAS) | 코사인 법칙 | 항상 정확히 하나의 해 |
| 세 변 (SSS) | 코사인 법칙 | 항상 정확히 하나의 해(삼각부등식을 만족하는 경우) |
| 두 변 + 끼지 않은 각 (SSA) | 사인 법칙, 주의 필요 | 0개, 1개, 또는 2개의 해가 가능 -- 모호한 경우 |
사인 법칙: 두 각과 한 변 (AAS/ASA)
사인 법칙은 임의의 삼각형에서 한 변의 길이와 그 변과 정확히 마주보는 각의 사인의 비율이 세 변 모두에서 같다고 말합니다: a / sin(A) = b / sin(B) = c / sin(C). 두 각과 임의의 한 변을 알고 있으면, 삼각형의 세 각의 합이 180도라는 사실로부터 세 번째 각이 곧바로 나오고, 나머지 두 변은 그 비율에서 직접 구해집니다.
예제: 각 A = 40도, 변 a = 15(각 A와 마주봄), 각 B = 60도입니다. 1단계: 각 C = 180 - 40 - 60 = 80도입니다. 2단계: 변 b = (a × sin B) / sin A = (15 × sin 60도) / sin 40도 = (15 × 0.8660) / 0.6428, 약 20.2094입니다. 3단계: 변 c = (a × sin C) / sin A = (15 × sin 80도) / sin 40도, 약 22.9813입니다. 이 삼각형의 넓이는 1/2 × a × b × sin C를 사용하면 약 1/2 × 15 × 20.2094 × sin(80도), 약 149.2681제곱단위입니다.
코사인 법칙: 두 변과 사잇각 (SAS), 또는 세 변 (SSS)
코사인 법칙은 피타고라스 정리를 직각이 없는 삼각형까지 일반화한 것입니다: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab × cos(C), 여기서 C는 변 a와 b 사이에 낀 각입니다. C가 정확히 90도이면 cos(C) = 0이 되어 공식은 정확히 피타고라스 정리 a^2 + b^2 = c^2로 축소됩니다.
예제: 변이 a = 8, b = 11이고 사잇각이 C = 37도입니다. 1단계: c^2 = 8^2 + 11^2 - 2 × 8 × 11 × cos(37도) = 64 + 121 - 176 × 0.7986, 약 185 - 140.55 = 44.45이므로 c는 약 6.6663입니다. 2단계: 세 변을 모두 알게 되면 나머지 각은 재정리한 공식 cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc)에서 구해지며, 각 A는 약 46.2375도, 각 B는 약 96.7625도가 됩니다(C = 37도와 합해 180도가 되어야 함). 넓이 1/2 × a × b × sin(C)는 약 1/2 × 8 × 11 × sin(37도), 약 26.4799제곱단위입니다.
SSA 모호한 경우, 있는 그대로 설명하기
두 변과 끼지 않은 각(SSA)을 알고 있을 때 -- 예를 들어 변 a, 변 b, 각 A를 알고 있는데 A가 a와 b 사이에 끼어 있는 각이 아닌 경우 -- 사인 법칙을 여전히 적용할 수는 있지만, 주어진 측정값을 만족하는 유효한 삼각형의 개수가 항상 하나인 것은 아닙니다. 구체적인 값에 따라 삼각형이 0개(주어진 각과 변으로는 닫힌 삼각형을 전혀 만들 수 없음), 정확히 1개, 또는 정확히 2개(둘 다 유효)일 수 있습니다.
결정 요인은 높이 h = b × sin(A)를 변 a와 비교하는 것입니다. a가 h보다 작으면 삼각형이 존재하지 않습니다. a가 h와 같으면 정확히 하나의 삼각형이 존재하며, 변 a와 마주보는 꼭짓점에 직각이 있습니다. h가 a보다 작고 a가 b보다 작으면 두 개의 서로 다른 삼각형이 존재합니다. a가 b보다 크거나 같으면 정확히 하나의 삼각형이 존재합니다.
모호한 경우의 예제: 변 a = 20, 변 b = 25, 각 A = 40도입니다. 여기서 h = 25 × sin(40도), 약 16.0697이며, 16.0697이 20보다 작고 20이 25보다 작으므로 이 측정값을 만족하는 서로 다른 삼각형이 두 개 존재합니다. 두 경우를 모두 풀면: 첫 번째는 각 B가 약 53.4641도, 각 C가 약 86.5359도, 변 c가 약 31.0576이고; 두 번째는 각 B가 약 126.5359도, 각 C가 약 13.4641도, 변 c가 약 7.2446입니다. 두 삼각형 모두 a = 20, b = 25, A = 40도라는 동일한 시작값을 사용하면서도 진정으로 다른 두 형태를 나타냅니다 -- 이것이 바로 SSA 경우가 「모호하다」고 불리는 이유이며, AAS, ASA, SAS에는 필요 없는 이 추가 검증이 SSA에는 필요한 이유입니다.
실무에서 올바른 공식 선택하기
측량, 항법, 공학 같은 분야에서의 실무적 지침은 습관적으로 한 법칙에 의존하기 전에 실제로 어떤 세 측정값을 확보할 수 있는지 먼저 파악하는 것입니다. 두 개의 각을 측정한 경우(두 고정 관측점에서 삼각측량할 때 흔함), 사인 법칙이 직접적이고 명확하게 적용됩니다. 두 개의 거리와 그 사이의 각을 측정한 경우(한 꼭짓점에서 두 변을 측량할 때 흔함), 코사인 법칙이 직접적이고 명확하게 적용됩니다.
SSA 경우는 생각보다 자주 발생합니다 -- 예를 들어 알고 있는 한 변, 두 번째 변, 그리고 그 둘 사이에 물리적으로 끼지 않은 각을 측정하는 경우입니다 -- 그리고 이 경우 은연중에 두 개의 유효한 답을 낼 수 있으므로, SSA가 유일하게 가능한 조합일 때는 처음 계산된 삼각형이 유일하게 맞는 답이라고 가정하기보다 위에서 설명한 a-대-h 비교를 명시적으로 확인할 필요가 있습니다.
자주 묻는 질문
코사인 법칙 대신 사인 법칙을 언제 사용해야 하나요?
두 각과 임의의 한 변을 알고 있을 때(AAS 또는 ASA)는 사인 법칙을 사용하며 이는 항상 정확히 하나의 해를 가집니다. 두 변과 끼지 않은 각을 알고 있을 때(SSA)도 사인 법칙을 쓰되 모호한 경우인지 확인해야 합니다. 두 변과 사잇각(SAS) 또는 세 변(SSS)을 알고 있을 때는 대신 코사인 법칙을 사용합니다.
SSA 모호한 경우란 무엇인가요?
SSA는 두 변과 끼지 않은 각을 알고 있는 경우를 말합니다. 구체적인 값에 따라 이 조합은 유효한 삼각형을 0개, 1개, 또는 2개 만들어낼 수 있는데, 이는 항상 정확히 하나를 만들어내는 AAS, ASA, SAS와 다릅니다. 예를 들어 a = 20, b = 25, 각 A = 40도인 경우, 서로 다른 두 삼각형이 모두 주어진 측정값을 만족합니다 -- 하나는 각 B가 약 53.4641도, 다른 하나는 각 B가 약 126.5359도입니다.
코사인 법칙으로 알 수 없는 변을 어떻게 구하나요?
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab × cos(C)를 적용한 뒤(C는 변 a와 b 사이에 낀 각) 제곱근을 취합니다. a = 8, b = 11, C = 37도인 경우, c^2 = 64 + 121 - 176 × cos(37도), 약 44.45이므로 c는 약 6.6663입니다.
사인 법칙으로 알 수 없는 변을 어떻게 구하나요?
비율 a / sin(A) = b / sin(B)를 세운 뒤 알 수 없는 변을 구합니다. 각 A = 40도, 변 a = 15, 각 B = 60도인 경우, 변 b = (15 × sin 60도) / sin 40도, 약 20.2094입니다.
코사인 법칙으로 세 변(SSS)만으로 삼각형을 풀 수 있나요?
네. 세 변을 모두 알고 있으면 코사인 법칙을 재정리해 각 각을 구할 수 있습니다: cos(A) = (b^2 + c^2 - a^2) / (2bc). 사인 법칙은 그 비율을 세우는 데 최소 하나의 알고 있는 각이 필요하므로, SSS 문제를 처음부터 사인 법칙으로 풀 수는 없습니다.
참고 자료
- Weisstein, Eric W. "Law of Sines" and "Law of Cosines." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Larson R. Trigonometry. Cengage Learning (law of sines, law of cosines and the SSA ambiguous case).
- Stewart J, Redlin L, Watson S. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage Learning (solving oblique triangles).