근의 공식은 어디서 오는가
근의 공식은 완전제곱식 만들기(completing the square)라는 기법을 사용하여 일반 방정식 ax^2 + bx + c = 0(단, a는 0이 아님)에서 유도됩니다. 모든 항을 a로 나누면 x^2 + (b/a)x + c/a = 0이 되고, 상수항을 반대쪽으로 옮기면 x^2 + (b/a)x = -c/a가 됩니다. 양변에 (b/2a)^2를 더하면 좌변이 완전제곱식이 됩니다: (x + b/2a)^2 = (b/2a)^2 - c/a.
우변을 공통분모로 정리하면 (x + b/2a)^2 = (b^2 - 4ac) / (4a^2)가 됩니다. 양변의 제곱근을 취하면(양과 음의 근을 모두 허용) x + b/2a = 플러스마이너스 (b^2 - 4ac) / (2a)의 제곱근이 되고, x를 고립시키면 익숙한 공식이 나옵니다: x = (-b 플러스마이너스 b^2 - 4ac의 제곱근) / (2a). 모든 단계는 되돌릴 수 있는 대수 연산이며, 이것이 바로 이 공식이 깔끔하게 인수분해되는 방정식뿐 아니라 0이 아닌 최고차항 계수를 갖는 모든 이차방정식에 대해 성립하는 이유입니다.
판별식: 풀기 전에 알려주는 것
제곱근 아래의 식 b^2 - 4ac는 판별식이라고 하며, 그 부호만으로도 실제로 근을 계산하지 않고도 방정식이 어떤 종류의 근을 갖는지 결정할 수 있습니다. 판별식이 양수이면 제곱근은 양의 실수이므로 플러스마이너스에 의해 서로 다른 두 실수 x값이 나옵니다. 판별식이 정확히 0이면 제곱근 항이 완전히 사라지므로 플러스와 마이너스 두 경우 모두 x = -b / (2a)라는 하나의 값으로 합쳐집니다.
판별식이 음수이면 제곱근 아래의 식이 음수가 되는데, 이는 실수 제곱근을 갖지 않고 -- 허수 제곱근만 가집니다. 음수의 제곱근은 i^2 = -1을 만족하는 허수단위 i를 사용하여 실수 곱하기 i로 정의되기 때문입니다. 이 경우에도 공식은 여전히 두 개의 답을 내놓지만, 실수가 아니라 p + qi와 p - qi 형태의 켤레복소수 쌍입니다.
| 판별식 (b^2 - 4ac) | 근의 개수와 종류 | 포물선의 모양 |
|---|---|---|
| 양수 (> 0) | 서로 다른 두 실근 | x축과 두 점에서 만난다 |
| 0 (= 0) | 중근인 실근 하나, x = -b / (2a) | 정점에서 x축에 정확히 한 점에서 접한다 |
| 음수 (< 0) | 켤레복소수 근 두 개, p ± qi | x축에 닿거나 만나지 않는다 |
예제 1: 서로 다른 두 실근 (D > 0)
x^2 - 3x + 2 = 0을 풀어봅시다. 여기서 a = 1, b = -3, c = 2입니다. 판별식은 (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1로 양수이므로 서로 다른 두 실근이 예상됩니다. 공식을 적용하면: x = (3 플러스마이너스 1의 제곱근) / (2 x 1) = (3 플러스마이너스 1) / 2입니다. 따라서 x1 = (3 + 1) / 2 = 2, x2 = (3 - 1) / 2 = 1입니다.
이 근들은 원래 방정식을 인수분해하여 확인할 수 있습니다: x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)이며, x = 1 또는 x = 2일 때 정확히 0이 되어 공식의 답을 확인해 줍니다. 비에타의 공식을 이용한 추가 검증: 두 근의 합은 -b/a = 3과 같아야 하며 실제로 2 + 1 = 3이고, 곱은 c/a = 2와 같아야 하며 실제로 2 x 1 = 2입니다.
예제 2: 중근인 실근 하나 (D = 0)
x^2 - 4x + 4 = 0을 풀어봅시다. 여기서 a = 1, b = -4, c = 4입니다. 판별식은 (-4)^2 - 4(1)(4) = 16 - 16 = 0이므로 중근 하나가 예상됩니다. 판별식이 0이므로 공식은 곧바로 x = -b / (2a) = 4 / 2 = 2로 단순화됩니다.
이 방정식은 (x - 2)^2 = 0으로 인수분해되며, 이는 x = 2가 유일한 근이고 중복도 2로 두 번 세어진다는 것을 확인해 줍니다. 기하학적으로 포물선 y = x^2 - 4x + 4는 정점 (2, 0)에서 x축을 관통하지 않고 그저 접하는데, 이것이 판별식이 0일 때 나타나는 시각적 특징입니다.
예제 3: 켤레복소수 근 두 개 (D < 0)
x^2 + 2x + 5 = 0을 풀어봅시다. 여기서 a = 1, b = 2, c = 5입니다. 판별식은 2^2 - 4(1)(5) = 4 - 20 = -16으로 음수이므로 실근은 존재하지 않습니다. 공식을 적용하면: x = (-2 플러스마이너스 -16의 제곱근) / (2 x 1)입니다. -16의 제곱근은 4i인데, (4i)^2 = 16 x i^2 = 16 x (-1) = -16이기 때문이며, 따라서 x = (-2 플러스마이너스 4i) / 2 = -1 플러스마이너스 2i입니다.
따라서 두 근은 -1 + 2i와 -1 - 2i로 켤레복소수 쌍입니다 -- 즉 실수부(-1)는 같고 허수부는 부호가 반대입니다. 포물선 y = x^2 + 2x + 5는 x축 위쪽에 완전히 위치하며(x = -1에서의 최솟값은 4입니다), 이것이 이 포물선이 x축과 만나지 않아 실근을 갖지 않는 그래프상의 이유입니다.
자주 묻는 질문
근의 공식이란 무엇인가요?
근의 공식은 a가 0이 아닌 ax^2 + bx + c = 0 형태의 모든 방정식을 풀며, x = (-b 플러스마이너스 b^2 - 4ac의 제곱근)을 2a로 나눈 값이라고 말합니다. 이는 일반 이차방정식을 완전제곱식으로 만들어 유도되며, 정수로 깔끔하게 인수분해되든 아니든 모든 이차방정식에 대해 성립합니다.
판별식은 무엇을 알려주나요?
판별식 b^2 - 4ac는 근의 공식에서 제곱근 아래에 있는 식이며, 그 부호가 풀기 전에 근의 종류를 알려줍니다. 판별식이 양수이면 서로 다른 두 실근, 0이면 x = -b/(2a)에서의 중근인 실근 하나, 음수이면 켤레복소수 근 두 개와 실근 없음을 의미합니다.
복소수 근을 갖는 이차방정식은 어떻게 푸나요?
판별식 b^2 - 4ac가 음수이면 그 절댓값의 제곱근을 취하고 허수단위 i를 붙입니다. x^2 + 2x + 5 = 0의 경우 판별식은 -16이고 -16의 제곱근은 4i이므로, 근은 x = (-2 플러스마이너스 4i) / 2 = -1 플러스마이너스 2i -- 켤레복소수 쌍이 됩니다.
근의 공식은 어디서 유래했나요?
일반 방정식 ax^2 + bx + c = 0을 완전제곱식으로 만들어 유도됩니다. a로 나누고, 상수항을 고립시키고, 양변에 (b/2a)^2를 더하면 좌변이 완전제곱식 (x + b/2a)^2가 됩니다. 양변의 제곱근을 취하고 x를 고립시키면 x = (-b 플러스마이너스 b^2 - 4ac의 제곱근) / (2a)가 나옵니다.
이차방정식이 정확히 하나의 해만 가질 수 있나요?
네, 판별식이 정확히 0일 때 그렇습니다. 이 경우 공식의 플러스마이너스는 x = -b / (2a)라는 하나의 값, 즉 중근으로 합쳐집니다. 예를 들어 x^2 - 4x + 4 = 0은 판별식이 16 - 16 = 0이며, 방정식이 (x - 2)^2 = 0으로 인수분해되므로 중근은 x = 2 하나뿐입니다.
참고 자료
- Weisstein, Eric W. "Quadratic Equation." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Weisstein, Eric W. "Vieta's Formulas." MathWorld — A Wolfram Web Resource. mathworld.wolfram.com.
- Stewart J. Precalculus: Mathematics for Calculus. Cengage (derivation of the quadratic formula and the discriminant).