终值：定期投入最终能增长为多少
年金的积累阶段，是指按固定金额持续投入账户并按某一回报率增长，直至某个目标未来日期（如退休）为止的时期。本计算器建模的是普通年金——每笔款项发生在每期期末，这是大多数退休缴款计划（如 401(k) 或个人退休账户的工资代扣）的标准惯例。
算例：每月投入 500 美元、年回报率 7%、持续 20 年（240 个月），终值为 260,463.33 美元。该期间的投入总额为 120,000 美元（240 笔 500 美元），这意味着期末余额中有 140,463.33 美元完全来自回报率带来的增值。
- 终值 FV = PMT × [((1 + r)^n − 1) ÷ r]，其中 PMT = 月投入额，r = 年利率 ÷ 12，n = 年数 × 12
- 投入总额 = PMT × n；增值 = FV − 投入总额
现值：未来的一系列款项在今天值多少
现值回答的是另一个问题：给定一系列未来的等额款项——养老金给付、结构化和解金、租金收入——在反映货币时间价值的折现率下，这一系列款项在今天值多少？折现体现的是：当下可用的资金能够产生回报，因此 20 年后才到手的一笔钱，今天的价值远低于下个月就到手的同样金额。
算例：每月 1,000 美元、持续 20 年，按 5% 折现率计算，现值为 151,525.31 美元，而未折现的款项总额为 240,000 美元——时间价值折让 88,474.69 美元。同一公式反过来也构成了贷款数学的基础：一家贷方按 5% 利率、20 年期放出 151,525 美元，收取的月供几乎恰好是 1,000 美元。
| 折现率 | 每月 1,000 美元、持续 20 年的现值 |
|---|---|
| 3% | 180,311 美元 |
| 5% | 151,525 美元 |
| 7% | 128,983 美元 |
领取额：一笔本金能支撑多少稳定收入
领取额计算用于确定一笔固定的起始本金在设定年数内能支撑的等额定期领取金额，并使余额在期末恰好耗尽——这是积累计算的反向过程。这有时被称为确定期限领取，与终身年金产品不同，后者只要年金领取人在世就会持续给付。
算例：50 万美元本金按 5% 年利率、期限 25 年（300 个月），可支撑每月 2,922.95 美元的等额领取——即每年 35,075.40 美元——整个期间累计领取 876,885.06 美元。超出原始 50 万美元本金的部分，代表领取期内持续产生的投资收益，正是它使得领取额能够超过「本金简单除以月数」的水平。
- 月领取额 PMT = P × r ÷ [1 − (1 + r)^−n]，其中 P = 本金，r = 年利率 ÷ 12，n = 年数 × 12
三者如何相互衔接
终值、现值和领取额是同一套年金数学在不同方向上的三种视角：终值将定期投入向前推算成一笔总额；现值将未来的一系列款项折回今天的币值；领取额则把一笔现有本金转化为可持续的收入流。三者都假定为普通年金（期末付款）并在整个期间保持利率不变——它们都不考虑税费、手续费、通胀调整，也不包含商业购买的终身年金产品中由保险公司根据死亡率定价的因素。
常见问题
每月 500 美元、按 7% 回报、持续 20 年能增长到多少？
用普通年金终值公式计算，每月 500 美元、年回报率 7%、持续 20 年（240 个月），可增长至 260,463.33 美元——其中 120,000 美元来自投入，140,463.33 美元来自增值。
每月 1,000 美元的款项流现值是多少？
这取决于折现率和期限。每月 1,000 美元、持续 20 年、按 5% 折现率计算，今天价值 151,525.31 美元，而未折现总额为 240,000 美元——时间价值折让 88,474.69 美元。
50 万美元每月能提供多少收入？
在假定 5% 年回报率、期限 25 年的情况下，50 万美元本金可支撑每月 2,922.95 美元的等额领取，并在期末恰好耗尽本金。
普通年金和期初年金有什么区别？
普通年金假定款项发生在每期期末；期初年金则假定发生在期初。由于期初年金的每笔款项都多复利一期，其终值会略高——现值也略高，在 5% 年利率下约高出 0.42%——高于其他条件完全相同的普通年金。
这是否模拟了保险公司的终身年金？
不是。这些都是基于固定回报率、本金和期限的确定期限计算。商业购买的终身年金包含保险公司特有的费用、保证条款、退保费用以及基于死亡率的定价，这些都不在上述公式的建模范围内。
参考文献
- U.S. Securities and Exchange Commission (SEC), Investor.gov — annuities overview and investor bulletins. https://www.investor.gov/
- Financial Industry Regulatory Authority (FINRA) — Annuities: how they work and what to consider. https://www.finra.org/
- Brealey RA, Myers SC, Allen F. Principles of Corporate Finance. 13th ed. McGraw-Hill Education, 2020 — annuity mathematics.